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2025年春季学期中考教学质量监测
九年级数学试题卷
范围：人教版7-9年级全册 考时：120分钟 满分：120分
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分。
2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息。
3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答。填涂、书写在试题卷上的一律无效。
4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交。
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数：+5，，-(-1)，-|+2|. 其中负有理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A．a2÷a3＝a B．a2 a3＝a5 C．(a4)4＝a8 D．(ab)2＝ab2
4．不等式组 的解集是
A．1＜x≤4 B．x＞1 C．x≥4 D．-4≤x＜1
5．甲、乙两人进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数均是2.3m，方差分别为：
S甲2＝0.65，S乙2＝0.63，则成绩更稳定的是
A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定
6．某校学生乘车去绿葱坡滑雪场进行研学活动．若每车坐12人，则有3人不能上车；若每车坐15人，则最后一辆车少坐6人，设学生人数为x人和车辆数为y辆，依题意可列方程组
A． B． C． D．
7．数学兴趣小组利用正方形板、指针、重锤等材料制作“迷你测角仪”，将“迷你测角仪”置于斜坡AB上，待重锤与指针稳定，读出指针ON所对的∠MON的度数为28°，则坡角∠A的度数为
A．28°
B．30°
C．36°
D．62°
8．某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是
A． B． C． D．
9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA∥BC，∠A＝55°，则∠D的度数是
A．35°
B．20°
C．30°
D．24°
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴负半轴相交于点C，已知它的顶点为（2，m），图象经过点（－1，0），以下结论：
①abc＞0；
②4a+b＝0；
③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x－5)；
④a+c m．其中正确的序号为
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：mc2- 4m＝ 　 ．
12．计算 的结果是 　 ．
13．五一期间，小李和小杨准备为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为 　 ．
14．如图，小明先在广场A处测得凉亭C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶150米到达凉亭B处，测得凉亭C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与凉亭C之间的距离为 　 米．
15．如图，△ABC是等边三角形，D是边AB的中点，E是BC边上一动点．设CE＝x，AE+DE＝y，y关于x的函数图象过点(0,)，则该函数图象最低点的坐标是 　 ．
三、解答题（9个小题，共75分）
16．(6分) + (1－)0 + (－)-1+|1－|
17．（6分）菱形ABCD的对角线交于点O, E为边CD的中点.
（1）按要求画出图形，不写作法，保留作图痕迹. 连接OE并延长至点F，使得EF=OE，连接DF, CF；
（2）请判断四边形DOCF的形状，并说明理由.
18.（6分）
类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用．
【特例感知】
观察下列等式：，．
（1）根据上述特征，计算：　　 ．
【尝试类比】
（2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设Rt△AOB的面积为Sm．
①S1＝　　 ；
②求S1+S3+S5+…+S2025的值．
19．（8分）正月十五闹元宵，元宵节又称上元节或灯节，是中国的传统节日之一. 某校以“弘扬传统文化，走进元宵佳节”为主题在七、八年级开展了知识竞赛，本次竞赛的满分为100分，所有参赛学生的成绩得分都是整数，且都不低于75分．
【收集数据】
从七、八年级中各随机抽取40名学生的成绩．
【整理数据】
将抽取的两个年级的成绩进行整理(用x表示成绩，分成五组：75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）．
①八年级抽取学生的成绩在90≤x＜95这一组的具体数据是：
91，92，93，93，93，93，94，94．
②将八年级抽取学生的成绩整理并绘制成频数分布直方图（如图）．
【分析数据】
两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 91 90 98 27.9
八年级 91 m 100 43.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中m的值为 　　 ．
（2）若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有多少名．
（3）小明认为七、八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级成绩一样好，小颖认为小明的观点比较片面，请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）．
20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A(6,1)，B（，a）两点．
（1）根据图象，直接写出满足y1- y2＞0时，x的取值范围；
（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反
比例函数的图象于点Q，若△POQ面积为，求点P的坐标．
21．（8分）已知BC为半圆O的直径，点D在半圆O 上，DE⊥AD交BC于点E,
∠A=∠DEC.
（1）求证：AB为半圆O的切线；
（2）若AB=BC=4,点E为OC的中点，求DE的长.
22．（10分） 四渡河大桥 ，又称四渡河特大桥，是中国湖北省恩施土家族苗族自治州境内连接宜昌市与恩施州的高速通道，是中国首座山区特大悬索桥，位于巴东县野三关镇四渡河. 四渡河大桥的建设过程中克服了诸多技术难题，首先创用了“大跨度悬索桥先导索火箭抛送技术”，填补了国内外在复杂地形山区大跨度悬索桥先导索施工的技术空白.
“大跨度悬索桥先导索火箭抛送技术”的应用就是从四渡河的左岸点O(海拔约1087m)处发射火箭把先导索牵引到右岸的着陆点B处(海拔约1087m). 由于山高谷深，地势险峻，着陆区面积狭小(以点B圆心，半径为8m圆内），火箭着陆要精准. 火箭飞行的路线是一条抛物线，当水平距离x =600m时，火箭达到最高点A，此时测得∠AOB=22°.
以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，A, B, C, O在同一平面内，如图所示.
（1）求出火箭的飞行路线抛物线的函数表达式；
（2）根据环境因素，施工组想在较低的点C处（海拔约1072m)发射，从点O处观测点C的俯角∠BOC=45°, 火箭飞行的路线均为形状相同的抛物线，请你判定火箭能否精准落在预定着陆区内？说明理由.
（参考数据：tan22°≈0.4；sin22°≈0.375；cos22°≈0.927，≈3.87)
23．（11分）问题再现
如图1，ABCD是一个正方形花园，E，F是花园的两个门，若BE⊥AF，那么，要修建的两条小路BE和AF的长相等吗？为什么？
拓展探究
上述问题中，若ABCD是矩形（如图2），且=k, 当BE⊥AF时, BE与AF有怎样的数量关系？说明理由.
结论应用
如图3，已知矩形ABCD中，AB=3, AD=2, E为AD上的一点，将矩形ABCD沿直线BE对折，若点A的对应A'恰好落在BD上，直线AA'交BC于点F, 求的值.
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(－1, 0), B(1, 2)两点，过点B作x轴的平行线与抛物线交于点C，已知BC=4. P为x轴上任意一点.
（1）求点C的坐标；
（2）当y＞0，且y随x的增大而减小时，求x的取值范围；
（3）如图2，点M(m,n)（0＜n＜2)为平面直角坐标系中的一点，连接PM, BM, CM. 试探究PM+BM+CM是否存在最小值，若存在求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.
九年级数学参考答案
一．选择题
BDBAB DAABC
二．填空题（共15小题）
11．m（c+2）（c﹣2） 12． 13．
14． 15．（， ）
三、解答题（9个小题）
16． +(1－)0+(－)－1－|－|
解：原式＝+1+(－)―…………………（3分）
＝1－………………………（6分）
17．（1）如右图所示：……………………（3分）
（2）四边形DOCF是矩形，理由如下：
∵E为边CD的中点
∴DE=CE
∵EF=OE
∴四边形DOCF是平行四边形…………（4分）
∵菱形ABCD的对角线交于点O
∴∠DOC=90°
∴平行四边形DOCF是矩形………………（6分）
18．（1） ………………………………（2分）
（2）解：在中，当x=0时，y=;当y=0时，x=
∴A（，0），B（0，）
∴Sm===
①当m=1时，S1==……………（2分）
②S1+S3+S5+…+S2025=1……
…………………………（2分）
19．（1）92.5 ………………………（2分）
（2）480× ＝264……………………（3分）
∴八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生约有264名；
（3）七、八年级竞赛成绩的平均数相等，但七年级的方差低于八年级，所以七年级的成绩较稳定.
（答案不唯一，合理即可）……………………（3分）
20．(1) ＜x＜6………………………………（4分）
（2） 解：∵反比例函数的图象过A(6,1)
∴1
∴m=6
∴反比例函数的解析式为，且过B（，a）
∴B（，8）
∵一次函数y1＝kx+b过A(6,1)，B（，8）两点
∴ 解得
∴一次函数的解析式为y1＝－ x+9…………（2分）
设点P（x,－ x+9），则点Q（x，）
∴S△POQ= x（－ x+9－ ）
解得：x1＝ ,x2＝5
∴P（，）或（5，）…………（4分）
21．（1）证明：延长AD、BC交于点F
在△ABF与△EDF中：∠A=∠DEC，∠F=∠F
∴∠ABF=∠EDF
∵DE⊥AD
∴∠EDF=90°
∴∠ABF=90°
∵BC为半圆O的直径
∴AB为半圆O的切线……………（4分）
（2）连接AE、BD、CD
∵点O、E分别为BC、OC的中点,且AB=BC=4
∴OB=OC=2，OE=CE=1
∴BE=3
∵∠ABE=90°
∴AE=5
∵BC为半圆O的直径
∴∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCE=90°
∵∠DBC+∠ABD=90°
∴∠ABD=∠DCE
∵∠BAD=∠DEC
∴△ABD∽△ECD
∴………（2分）
设CD=x,则BD=4x
在Rt△BCD中：BC=x=4
∴x=
∴CD=
∵
∴
∵∠ADE=∠BDC=90°
∴△ADE∽△BDC
∴
∴DE= ……………（4分）
22．（1）过A作AD⊥x轴于点D
则OD=600，∠AOD=22°
在Rt△AOD中：tan∠AOD==≈0.4
解得AD=240
∴点A(600,240)………………（2分）
设抛物线的解析式为y=a（x－600）2+240，过点O（0,0）
∴0=360000a+240
解得a=－
∴抛物线的解析式为y=－（x－600）2+240……………（5分）
（2）过C作CE⊥x轴于点E
∵点O处的海拔约为1087m，点C处的海拔约为1072m
∴CE=1087－1072=15
∵∠BOC=45°
∴OE=CE=15
∴点C(15,－15)
即将发射点O（0,0）移到发射点C(15,－15)………（1分）
∵火箭飞行的路线均为形状相同的抛物线
∴将抛物线y=－（x－600）2+240向右平移15m，向下平移15m得到抛物线y=－（x－615）2 +225.………………（3分）
在y=－（x－615）2+225中，
令y=0，解得x1=615+150，x2=615－150（舍）
∴F（615+150，0）
∵点B（1200,0）
∴BF=1200－（615+150）=585－150≈585－150×3.87=4.5＜8
∴火箭能精准落在预定着陆区内.…………………………（5分）
23．（1）BE=AF，理由如下：.……………（1分）
∵四边形 ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°
∴∠DAF+∠BAF=90°
∵BE⊥AF
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠DAF=∠ABE
∴△ABE≌△DAF
∴BE=AF……………………………（3分）
（2） =k，理由如下：……………（1分）
∵四边形 ABCD是矩形
∴∠BAE=∠ADF=90°，BC=AD
∴∠DAF+∠BAF=90°
∵BE⊥AF
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠DAF=∠ABE
∴△ABE∽△DAF
∴= = =k…………（4分）
（3）解：由折叠可得：△A'BE≌△ABE
∴∠BA'E=∠BAE=90°，A'E=AE，A'B=AB=3
∴BE⊥AA'， ∴∠ABE+∠BAF=90°
∵四边形 ABCD是矩形
∴∠BAE=∠ABF=90°
∴∠BAF+∠BFA=90°
∴∠ABE=∠BFA
∴△ABE∽△BFA，∴=
∵AD=2
∴在Rt△ABD中：BD==7， ∴A'D=4
设A'E=AE=x，则DE=2－x
∴在Rt△A'DE中：DE2－A'E2=A'D2，即：（2－x）2－x2=42
解得：x=，即：AE= ，
∴= = =………………………（4分）
方法二，过点F作FF'⊥AD于点F'，由（2）的结论可求得，= = =.
24．（1）解：∵BC∥x轴，且B（1, 2），BC=4
∴C（5, 2）…………………（4分）
（2）∵BC∥x轴，B（1, 2），C（5, 2）
∴对称轴为直线x=3
又∵抛物线过点A（－1, 0）
∴=3，则x=7
∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（7, 0）
∴3＜x＜7时，y随x的增大而减小.………………………（4分）
（3）将△BCM绕点B逆时针旋转60°到△BC'M'，连接MM'
则：BC'=BC，BM'=BM，C'M'=CM，∠CBC'=MBM'=60°
∴△BMM'是等边三角形
∴BM=MM'
∴PM+BM+CM=PM+MM'+C'M'
过C'作C'I⊥x轴于点I，交BC于点Q
当PM+BM+CM取最小值时，P与I重合，M、M'在C'I上
∵BC=4
∴BC'=4
∵C'I⊥x轴
∴∠C'QB=90°
∵BQ= BC=2
∴C'Q=2，M'Q=
∵IQ=yB=2
∴C'I=2+2 ，M'I=2―
∴PM+BM+CM取最小值为2+2，………（4分）
点M'的坐标为（3，2―）……………（4分）
EQ \F(x+2,3)＞1
x－1≤3
第14题图
第15题图
八年级抽取学生的成绩频数直方图
第23题图1
第23题图2
第23题图3
第24题图1
第24题图2

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