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2024-2025学年浙江省台州市六校联盟高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，且满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.符合下列条件的三角形有个解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，则平面四边形的周长为( )
A. B. C. D.
6.为测量某建筑物的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，某人在的正西方向点处测得塔顶的仰角为，在的西偏北方向，在的西偏北方向，，则这幢建筑物的总高度为( )
A. B. C. D.
7.如图，为平行四边形所在平面外一点，为线段上靠近的三等分点，为上一点，当平面时，( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的叙述正确的是( )
A.
B. 若，则的虚部为
C. 若，则为纯虚数
D. 若是关于的方程，的一个根，则
10.设向量，，则下列叙述正确的是( )
A. 若，
B. 与垂直的单位向量只能为，
C. 若，则与的夹角为
D. 若，向量在向量上的投影向量为
11.在中，设，，，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 外接圆的周长是
C. 若为的中点，则中线长度为
D. 内切圆的面积是
12.在棱长为的正方体中，是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是( )
A. 点的轨迹长度为 B. 直线不可能与垂直
C. 直线与平面所成角为 D. 三棱锥的体积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的三个内角满足，则最小角的余弦值为 ．
14.已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ．
15.如图，在中，，为上一点，且满足，则的值为 ．
16.如图所示，在棱长为的正方体中，点是的中点，动点在正方体表面上移动，若平面，则的轨迹长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数满足：
求复数；
求的值．
18.本小题分
在中，，，且与的夹角为且．
若，用基向量，表示，并求；
若，求实数的值．
19.本小题分
在中，设角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若外接圆的面积为，且，求的面积．
20.本小题分
如图，梯形中，，于点，，且沿把折起到的位置，使．
求异面直线与所成角的余弦值；
若为的中点，为上一点，证明．
21.本小题分
锐角的角，，的对边分别为，，，若．
求证：；
若，求边的取值范围．
22.本小题分
如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，．
求证：平面；
求直线到平面的距离；
若点是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.设，，
；
原式．
18.由条件可知，，即，
所以，
由，，且与的夹角为，所以，
因为
．
19.因为，
由正弦定理得，
，
，
．
设外接圆的半径为，由，得，
由正弦定理得，所以，
由知，
，
，
，
．
20.取中点，连接、，
，，四边形是平行四边形，则，
或其补角为异面直线与所成角，
翻折前，即，，
翻折后，则有，，且有，
，，
又，、平面，面，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为．
面，平面，，
，，，，故为等腰直角三角形，
，
，，
由余弦定理得，
，，
，、平面，面，
因为平面，，
又，为的中点，，
，、平面，面，
平面，．
21.
，
三角形内角，．
．
锐角三角形，
，，．
22.连接交于，连接，则，
因为，由四棱台的性质可得，且，
故四边形为平行四边形，故，
不包含于面面，故面．
面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离，
，
，，，，
取中点，连，，可得，而平面，
故平面，由平面，故，
，得，
，，故，
故，故．
连接，因为，由四棱台的性质可得，
故四边形为平行四边形，故，故平面，
而平面，故，又，，
平面，故平面，
，点在面内的动点，点面面，
面，为与面所成的平面角，
，最小为，则最大为．

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