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2025年九年级数学中考数学二轮复习——反比例函数与一次函数综合
1．如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝mx+n相交于A（﹣1，2），B（4，a）两点，AE⊥y轴于点E，则：
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若y1≤y2则直接写出x的取值范围；
（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足S△ABM＝S△AOB，则求点M的坐标．
2．如图，已知直线与反比例函数的图象相交于点，并且与x轴相交于点B．

(1)求a的值；求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)求不等式的解集（直接写出答案）．
3．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为，为轴上一点，点的坐标为，连接．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图中找出的中点（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)在（2）的条件下，连接，求的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M(3，0)，与y轴相交于点N(0，4)，点A为MN的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点A．
(1)求直线l和反比例函数的解析式；
(2)在函数y＝(k＞0)的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点．
(1)求反比例函数的表达式和a的值；
(2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长．
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，与双曲线在第一象限内交于点P，过点P作轴于点A，轴于点B，已知且
直接写出直线的解析式______，双曲线的解析式______；
设点Q是直线上的一点，且满足的面积是面积的2倍，请求出点Q的坐标．
7．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数（0＜k＜15）的图像交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．
9．过点A（1，2）的直线与双曲线在第一象限内交于点P，直线AO交双曲线的另一分支于点B，且点C（2，1）．
（1）如图，当点P与C重合时，PA、PB分别交y轴于点E、F．求证：CE=CF；
（2）当点P异于A、C时，探究∠PAC与∠PBC的数量关系，请直接写出结论不必证明．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，．
(1)求a的值和反比例函数的解析式．
(2)若，直接写出自变量x的取值范围．
(3)若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知，，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点．
(1)求和的值；
(2)过点作轴，与双曲线交于点．求的面积．
(3)设直线，请直接写出的取值范围．
12．如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，A (1，n），B（，-2）．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果）
(3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积．
14．如图，直线分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，．求：

(1)求点A、C的坐标；
(2)求反比例函数解析式；
(3)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线的右侧，作轴，T为垂足，当与相似时，请求出点R的坐标．
15．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；
（2）求直线的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
16．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像交于点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图像，直接写出当时，自变量的取值范围；
(3)将直线沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于，与双曲线在第一象限内交于点，求点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数y= 的图象分别交于一、三象限的、两点，与轴交于点，与轴交于点，线段，点坐标为，且.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2).求的面积.
18．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且，
(1)求反比例函数解析式及C点的坐标；
(2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且．
(1)求证：．
(2)比较与的大小关系．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．
①求C点的纵坐标
②求的面积；
③点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上．若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
《2025年5月4日初中数学作业》参考答案
1．（1）把A（﹣1，2）代入反比例函数得，k＝﹣2
∴反比例函数的关系式为，
把B（4，a）代入得， ，
∴B（4，）
把A（﹣1，2），B（4，）代入一次函数得，
解得
∴一次函数的关系式为：
（2）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，
结合图象可知，当，自变量x的取值范围为：x≤﹣1或0＜x≤4．
（3）当时，
∴与y轴的交点坐标为（0，），如图：
∵S△ABM＝S△AOB
∴根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即为所求的M点．
将向下平移个单位过O点，关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴M（2，﹣1），
将向上平移个单位后直线的关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴，
综上所述，点M的坐标（2，﹣1）或，
2．（1）解：∵点在的图象上，
∴，
将代入，
得，
所以反比例函数的解析式为；
（2）解：如图：过A点作轴于D，

∵，
∴，
在直线中，令，得，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）解：设一次函数与反比例函数的另一个交点为C，
联立方程
得或，
所以C点坐标，
由图象知，不等式的解集为：或．
3．（1）解：把代入得到，
∴点，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图所示，点D即为所求，
；
（3）解：∵点，点B的坐标，
∴点D的横坐标是1，，
∴的面积是．
4．解：（1）设直线l的解析式为，
将代入
得解得：，
∴直线l的解析式为
∵点A为线段MN的中点，
∴点A的坐标为
将代入
得
∴反比例函数解析式为
（2）∵
∴
∵点
∴
设点P的坐标为 则
∴
∴
则
∴点P的坐标为
5．（1）解：∵点在的图像上，
∴代入得，
∴反比例函数关系式为，
∵点在的图像上，
∴代入得，
综上，反比例函数关系式为，；
（2）设的表达式为：，
将，代入得：，
解得，
∴的表达式为：，
∵点的横坐标为4，把代入得．
∴，
∵轴，
∴，代入得，
∴，
∴．
6．解：(1)x=0时，，
，
，
，
，
，
，
把代入得：，，
把代入中得：，
直线CD的解析式为：，双曲线的解析式为：，
直线：交x轴于点C，
点C的坐标是，．
过点Q作轴于点M．
分为以下两种情况：
①当点Q在射线DC上时，如图1，
的面积是面积的2倍，且和有共同的底边OD，
．
把代入，得，
即此时点Q的坐标是
②当点Q在射线CD上时，如图2，同理可得，
把代入，得，
即此时点Q的坐标是
点Q的坐标或
7．解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，则：，
解得：，
∴直线AE的解析式为，
∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y轴，
∴设点D的坐标为（﹣3，a），
∴a=﹣3+2=﹣1，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数（0＜k＜15）的图像经过点D，
∴k=﹣3×（﹣1）=3；
（2）如图：
∵点A和点C关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，
∴S阴影=4×3=12．
8．（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝ 1，
∴D（ 1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴．
9．（1）证明：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A（1，2），点C（2，1），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，
∴点E的坐标为：（0，3）；
直线BC的解析式为：y=mx+n，
∵过点A（1，2）的直线与双曲线y=在第一象限内交于点P，
∴点B的坐标为：（﹣1，﹣2），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣1，
∴点F的坐标为：（0，﹣1）；
∴，，
∴CE=CF；
（2）解：∵P在双曲线上，且不同于A，C两点，
设P（m，），且m≠1，2，
∴直线AP可表示为：，
直线BP可表示为：，
过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为R，S，
则R（1，0），S（﹣1，0），
设直线AP与x轴的交点为M，直线 BP与x轴的交点为N，
则M（m+1，0），N（m﹣1，0），
∴MR=m，NS=m，
∴MR=NS=m，
在△ARM和△BSN中，
，
∴△ARM≌△BSN（SAS），
∴∠AMR=∠BNS，
∵∠PAC+∠AMR=45°，∠PBC+∠BNS=45°，
∴∠PAC=∠PBC．
10．（1）（1）将点A的坐标代入得：，
解得，
故一次函数的表达式为①，
令，则，故点；
在中，，，则，
而，则，
则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3，
将点M的坐标代入并解得，
故反比例函数表达式为②
（2）联立①②得：，解得或，
故点N、E的横坐标分别为2，，
从函数图象看，，自变量x的取值范围是或；
（3）∵，则，
则，
设点P的坐标为，
则，
解得，
故点P的坐标为或．
11．（1）解：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵反比例函数的图象过点，
∴-3a=-3，
解得a=1，
∴OE=3，BE=1，
∴∠BOE+∠OBE=90°，
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴∠BOE+∠AOD=90°，，
∴∠OBE=∠AOD，
∵∠OEB=∠ADO=90°，
∴△BOE∽△OAD，
∴，
∴AD=OE=3，OD=BE=，
∴A（，3），
∴，
∴a=1，k=9；
（2）过点C作CF⊥x轴于F，
由（1）可知：AD=3，OD=，
∵BCx轴，B（-3，1），
∴点C的纵坐标为1，
∵点C在反比例函数上，
∴C（9，1），
∴CF=1，
∴
=
=
=；
（3）∵A（，3），C（9，1），
∴当或时，．
12．（1）解：将B（，-2）代入，
解得：k1=1，
∴ 反比例函数为，
将A（1，n）代入，得出n=1，
∴ A（1，1），
将A（1，1）、B（，-2）分别代入中，得
，
解得，
∴ 一次函数的解析式为：
（2）解：如图所示，
设直线AB与y轴交于点D
令x=0，则y=-1，
∴D（0，-1）
∴ OD=1，
∴=××1+×1×1=．
13（1）解：∵，
把代入中，得，
∴，
把，代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）∵，
∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方，
∴结合函数图像可知时，满足题意，
∴当时，；
（3）过B作轴于E，
把代入中，得，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∵A是直线与y轴的交点，
∴，
∴，
∴
．
14．（1）在直线中，
令得，
令，得，
；
（2）∵
，，
又，
，
又轴，
，
，
∴，即，
，
，
解得，
，
∴，
∴点的坐标为，
设反比例函数的解析式为，
将代入得得
，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）设点的坐标为，

当时，
∴，
即，即，
又，
联立得，
解得 （负值舍去），
∴点的坐标为；
当时，
∴，即，即，
又，
联立得，
解得 （负值舍去），
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
15．解：（1）把点代入可得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．
设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，
∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，
∴．
∴
．
∵的面积为8，
∴，整理得．
∴．解得（舍去）．
∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，
则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，
把代入，得．
∴点P的坐标为．
16．（1）解：将代入得：，
，
将代入得：，
．
（2）根据题意，得正比例函数和反比例函数的图像交于点，
根据原点的对称性质，得到另一个交点坐标为，
故当时，或．
（3）设平移后的直线的表达式为，
代入得，，
，
故直线向上平移了个单位得到直线 ，
解方程．，
解得，，
又点在第一象限，．
17(1)在Rt△DCO中，∠ DOC=90°，OC=2，
∵cos∠ACO=，∴CD=，
∴OD=，
∴C(-2，0)，D(0，)，
将C、D坐标代入y=kx+b(k≠0)得，，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=，
又∵A(n，3)在一次函数y=的图象上，
∴3= ，∴n=2，则A点坐标为(2，3)，
又∵A(n，3)在反比例函数y=(m≠0)的图象上，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)解方程组，得，，
∵A(2，3)，∴B(-4，-)，
分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则OF=4，OE=2，
∴S△AOB=OE·OD+OF·OD==4.5.
18．（1）解：函数的图象过点和两点，代入得：
，
解得，
反比例解析式为．
，，
点，
设直线的解析式为：，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，如图1，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去），
；
（2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下：
，直线的解析式为，，
设直线的解析式为：，
点在直线上，
，即，
直线的解析式为：，
当时，，
，，
当时，，
，，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以为直角边，为直角顶点，如图1；
过做轴于点，可知：，
，
，
又，
，
又，
，
，，
故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，
，且在第二象限，
即；
②以为直角边，为直角顶点，如图2；
同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得．
综上所述：点或．
19．（1）证明：由题意，得，，，
．
（2）解：．
，，
，
．
20（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：
， 解得：，
则点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：；
（2）①∵点，D点的纵坐标是0，，
∴点C的纵坐标是， 把代入 得，
∴，
②如图1，作轴于D，交于E，

当时，，
∴，
∵，
∴，
∴；
③∵，
当时，，
∴，
如图2， 当是对角线时，

∵，， 又点Q的纵坐标为0，
∴，
当时， 则， ∴， 故；
当为边时， 则四边形是平行四边形（），
由得：，
∴， 当时，，
∴，
综上：或．

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