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2024-2025学年湖南省娄底市高一下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在中，为线段的靠近点的一个三分点，则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则三角形为锐角三角形
8.已知单位向量、、满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合
11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的是 ．
13.已知向量，则在上的投影向量为 ．
14.已知，且，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润单位：万元与运转的时间单位：年的函数关系为．
当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
16.本小题分
已知．
若，求的坐标；
若，求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角的对边分别为．
求．
若，求的面积的最大值．
18.本小题分
在中，已知分别为上的点，且．
求；
求证：；
若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
解方程；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若函数在上只有一个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.故当时，取得最大值，最大值为，所以这批机器运转第年时，可获得最大利润万元；
记年平均利润为，则
当且仅当，即时，等号成立．
16.设，由题意有，解得或．
故的坐标为或；
由化简整理得，
则，解得，
．
17.因为，
由正弦定理可得，因为，
所以，，又，所以．
因为，
由余弦定理可得，所以，
，
当且仅当时，取的面积的最大值．
18.，，，
所以，；
，所以，所以；
因为，由三点共线可得，，
所以，所以，当且仅当时取最大值．
19.由得，
所以，所以，
令，解得，所以；
定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为偶函数；
函数有唯一零点等价于方程有唯一解，
即方程有唯一解，
整理得，
令，即方程有唯一正数根，
若，此时符合题意；
若，则
当时，符合题意，
当时，不合题意，舍去，
当时，，方程有两相异实根，符合题意，
当且时，则，
只需
所以舍去，
综上，实数的取值范围是或．

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