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2024-2025学年陕西省榆林市高一下学期4月全国名校期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3.复数是虚数单位，是纯虚数，则( )
A. B. C. 或 D.
4.已知，，且，则的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法错误的是( )
A. 若与关于实轴对称，则：为实数
B. 若与关于实轴对称，则
C. 若，则
D. 若，则：
8.如图，在中，，，，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体的棱长为，是棱上的一个动点含端点，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
11.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有( )
A. 面积的最大值为
B.
C. 周长的最大值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ．
13.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成如图，也可由正方体切割而成如图在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为，则该几何体的体积为 ．
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，正八边形中，若，则的值为 ；若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱．
求圆柱的侧面积；
求圆柱的侧面积的最大值及此时的值．
16.本小题分
已知、满足，．
设，的夹角为，求；
若，求的最小值．
17.本小题分
设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
求复数；
若为纯虚数，求实数的值．
18.本小题分
，，，是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，求球的体积；
已知正四棱台中，，该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积．
19.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
当时，求四边形的周长；
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
参考答案
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15.解：过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，设圆柱的底面圆半径为，如图：
由得：
故圆柱的侧面积．
，
故当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
16.由，得，
同相减得，，
代入中，得．
所以，
所以．
因为，设，所以，
所以
当时，取得最小值，最小值为．
17.设，，，由题意：
计算，得
联立，解得，得．
，
所以且，解得．
18.如下左图所示，由题意可知为球的直径，设到面的距离为，
则等边的面积为，所以，
则球心到面的距离为．
设面，易知为等边的外心，
所以，故球的半径，
所以球的体积．
如上右图所示，设，分别为上、下底面的中心，，分别为，的中点，且有，，
设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为，，，
由，即得，，所以，．
又及，
所以有，解得．
由勾股定理可得斜高，
所以，从而四棱台表面积．
19.解：在中，
由余弦定理得，
即，于是四边形的周长为；
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，
不妨设，
则，解得，
所以，
所以；
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为，
当，即时，四边形的面积取得最大值为．
所以，当满足时，四边形的面积最大，最大值为．
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