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2024-2025学年湖南省长沙市铁路一中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径是，高是，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.半径为的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则( )
A. B. C. D.
8.在中，点是上一点，且为靠近点的三等分点，是中点，与交点为，又，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是( )
A. 是棱台 B. 是圆台 C. 是四面体 D. 是棱柱
10.已知复数，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
11.函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则( )
A.
B.
C. 的零点形成的集合为
D. 的单调递减区间为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为虚数单位，计算______．
13.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______．
14.若，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求向量与夹角的余弦值；
若向量与互相垂直，求的值．
16.本小题分
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面是边长为的正方形．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
17.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期和对称轴方程；
求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值．
18.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，周长为，求的面积；
若为锐角三角形，求的范围．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量；
记向量的相伴函数为，若，求的值；
已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：，，
，
，，
设向量与的夹角为，
则；
若向量与互相垂直，
，，，
则，
所以．
16.解：由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高，
由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，
故该几何体的表面积．
由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，
故该几何体的体积．
17.解：函数的最小正周期为，
由，，可得，，
所以函数的图象对称轴方程为，．
由知，在上，，
故当，即时，取得最大值为，
当，即时，取得最小值为，
故的最大值是，此时，的最小值是，此时．
18.解：中，角、、的对边分别为、、，．
可得：，
因为，所以，则，
则，又，所以；
由余弦定理，得，
由周长为，得，解得，
所以的面积；
在锐角中，由，得，则，
，则，
故，由正弦定理得
，
所以的范围是．
19.解：因为，
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为；
由题意知，向量的相伴函数为，
由题意，且，
则，，
故
；
因为，
其相伴特征向量，
故，解得，则，
则，
设点，又，，
所以，，若，
则
，
即，
因为，所以，
故，又，
故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得．
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