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2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高二（下）期中考试
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
2.已知直线：，直线：，则“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳的中心是的一个焦点，若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为，最小值为，太阳半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知曲线的对称中心为，如果对于曲线上的任意一点，都存在上另外的两点、，使得的垂心为，则称为“自垂曲线”现有如下两个命题：
任意双曲线都是“自垂曲线”；
任意椭圆都是“自垂曲线”．
则下列判断正确的是( )
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.直线的倾斜角为______．
6.圆的圆心坐标为______．
7.已知向量为直线的一个法向量，则的值为______．
8.已知椭圆的左焦点为，、为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为______．
9.在平面直角坐标系中，为原点，为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为______．
10.双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______．
11.已知为圆上一动点，则的最大值为______．
12.若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为______．
13.已知为抛物线上一点，点到直线：的距离为，点到直线：的距离为，则的最小值为______．
14.若曲线：上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为______．
15.圆：与曲线：有且仅有三个公共点，则的取值范围是______．
16.直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点、、、从左到右依次排列，若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线：的焦点为，、是抛物线上两个不同的点．
求抛物线的方程；
若直线斜率为，且过点，求线段的长度；
设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
18.本小题分
如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点．
求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
记中的公共点为，求证：、、、四个点在同一圆上，并求圆的一般方程．
19.本小题分
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长米、宽米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称现有、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求、的距离尽可能远．
、两位同学应处在什么位置？请说明理由；
若要在操场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音箱、两点在线段上，要求两个音箱间的距离尽可能大，同时、两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过秒声音在空气中的传播速度为米秒，求音箱距中轴线的距离精确到米．
20.本小题分
如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点是角终边上的点异于原点，设，将点绕逆时针旋转后得到．
求证：；
已知曲线是函数的图像，曲线绕原点逆时针旋转后得到，求的标准方程；
已知曲线：表示一个中心在原点的椭圆，为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点作直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示、、到的距离，且，对于给定的，记的最小值为．
已知定点，，，直线的方程为，求的值；
已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心；
若对于，满足的不同直线至少有两条，试判断的形状，并予以证明．
参考答案
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10.
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14.
15.
16.
17.解：因为抛物线：的焦点为，
所以，所以，
所以抛物线为；
若直线斜率为，且过点，
则的方程为，
联立，得，
则，设、，
则由求根公式可得，
所以；
证明：由题意可知所在直线斜率不为，
设所在直线方程为．
联立，化简可得，
则，
则，
又根据题意可知，则，
所以直线恒过点．
18.解：证明：联立，消去并整理得，
解得，
则椭圆与直线有且仅有一个公共点；
证明：易知直线的方程为，
联立，
解得，
即，，
因为，，
设圆的方程为，
将、、的坐标代入圆的方程中，
此时，
解得，
此时圆方程为，
将点代入圆的方程中，
此时，
所以点也在此圆上．
故、、、四个点在同一圆上．
19.解：由题意得，，
当、、、四点共线时，、两点间的距离最大，
此时、两点分别在圆弧的中点，距离为米．
以所在的直线为轴，以中轴线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，根据题意可得，
则、两点在以、为焦点的双曲线上，，解得，
设双曲线方程为，则，解得，
所以，解得．
因此音箱距中轴线距离约为时为最佳放置点．
20.解：证明：经过逆时针旋转到后，角终边与重合，
所以，
，得证．
设曲线上一点为，逆时针旋转后的点在的图像上，
则，即，
由知：，，即，，
代入得，
化简即得曲线的方程为．
设长轴在轴上的椭圆上一点为，
逆时针旋转得到点在的图像上，
由知，，满足，
所以，
化简得．
因此，由此得，
所以．
点旋转后的坐标为．
当直线旋转后斜率不存时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为，
旋转后，，，
联立，消去可得，
则由韦达定理得，，
所以，
将代入椭圆方程中，有，，
，
则．
21.解：因为，，，直线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，，
又因为，
所以；
证明：设，，，直线：，
对任意固定的、，要使得
最小，
那么由二次函数的性质可得，
此时直线方程为：，
过的重心，因此过的重心；
由知，取最小值时，过的重心，不失一般性，
不妨设，，其中，
此时的方程为，这里表示直线的倾斜角，，
此时，
，
此时为关于的函数、定义域域为的函数，
令，，，
则，
若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，
这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾．
因此必须有且，即，
由得，
由此不难通过几何关系得到为等边三角形．
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