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2024-2025学年云南省昆明市云南地矿局中学高一(下)期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若、是全集的真子集,则下列四个命题中与命题等价的有( )
;;;
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列是全称命题且是真命题的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,,
3.设,,,则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
4.为了给地球减负,提高资源利用率,年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是参考数据:,( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.已知复数是关于的一元二次方程的一个复数根,则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.已知,,满足,,则点,,依次是的( )
A. 重心,外心,垂心 B. 重心,外心,内心 C. 外心,重心,垂心 D. 外心,重心,内心
7.如图,是由斜二测画法得到的水平放置的直观图,其中,点为线段的中点,对应原图中的点,则在原图中下列说法正确的是( )
A. B. 的面积为
C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为
8.已知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且,若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知的最小正周期为,则下列说法正确的有( )
A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
10.对于有如下命题,其中正确的是( )
A. 若,则为钝角三角形
B. 若,,,则的面积为
C. 在锐角中,不等式恒成立
D. 若,且,则为等边三角形
11.如图,在菱形中,,,为的中点,将沿直线翻折成,连接和,为的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.
B. 的长不为定值
C. 与的夹角为
D. 当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数,若,则______.
13.已知复平面上的点对应的复数满足:存在模长为的复数,使得那么所有满足条件的点组成的图形的面积为______.
14.已知函数,为偶函数,且当时,记给出下列关于函数的说法:当时,;函数为奇函数;函
数在上为增函数;函数的最小值为,无最大值.其中正确的是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在,,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,的内角,,的对边分别为,,,设,若_____,是否存在使得存在最大值?
16.本小题分
已知函数.
求函数的周期和单调递增区间;
在中,角,,所对的边分别是,,,且满足,求的取值范围.
17.本小题分
如图,已知正方形边长为,过中心的直线与两边、分别交于点、.
求的值;
若是的中点,求的取值范围;
若是平面上一点,且满足,求的最小值.
18.本小题分
如图,在三棱柱中,底面,,,,,点,分别为与的中点.
证明:平面;
求二面角的平面角的正切值.
19.本小题分
函数.
根据不同取值,讨论函数的奇偶性;
若,对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
若已知,设函数,,存在、,使得,求实数的取值范围.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:,
选择条件:由正弦定理知,,
,
,即,
由余弦定理知,,
,,
,,
当,即时,取得最大值.
选择条件:
,
,即,
,
,
,,
,,
当,即时,取得最大值.
16.解:,
根据的解析式可得,
令,解得,
即的单调递增区间为:;
因为,即,则由余弦定理,
因为,所以,
则,所以,
则,
即的值域为:
17.解:,
,
,
,
为的中点,
,
,
,
,
的取值范围,
,
设,
则 ,
、、三点共线,
,,
又,
,
的最小值为.
18.证明:在三棱柱中,因为底面,
所以三棱柱是直三棱柱,故四边形是矩形,
又因为点是的中点,连接,则点是的中点,
连接,因为是的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面;
解:因为平面平面交于,平面,
所以平面,又平面,
所以,
过在平面内,作交于点,连接,
因为,,平面,
所以平面,又平面,
所以,
因此为二面角的平面角,
又因为,所以,
故平面平面,
由可知,四边形是矩形,
取的中点,连接,
因为为的中点,所以,
因为,所以,
又因为,,是的中点,
所以在矩形内,利用等面积法可得,
,
又,
因此,
在中,,
因此二面角的平面角的正切值为.
19.解:函数的定义域为,关于原点对称.
当时,,,
此时,函数为奇函数;
当时,,,,
则,,
此时,函数为非奇非偶函数;
综上,当时,函数为奇函数;当时,函数为非奇非偶函数;
当时,则有恒成立,此时;
当时,由,即,
即,
因为,所以,
则,
又因为,
所以不等式对任意的恒成立,
由,
即,
所以,
即.
因为函数在区间上单调递增,
所以,
由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减,
则,
所以.
综上,实数的取值范围是;
由题意知,当时,,
当时,.
当时,,开口向下,
此时,函数在区间上单调递增,在上单调递减,
且,,,
则;
当时,,开口向上,
此时,函数在区间上单调递增,则.
所以,函数在区间上的最小值为.
对于函数,
内层函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
外层函数是单调递减函数,
所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以,
由题意得,则有,解得.
所以实数的取值范围是.
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