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2024-2025学年云南省昆明市云南地矿局中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若、是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有( )
；；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列是全称命题且是真命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
3.设，，，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
4.为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.已知复数是关于的一元二次方程的一个复数根，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.已知，，满足，，则点，，依次是的( )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
7.如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是( )
A. B. 的面积为
C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为
8.已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且，若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的最小正周期为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
10.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，，则的面积为
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，且，则为等边三角形
11.如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A.
B. 的长不为定值
C. 与的夹角为
D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则______．
13.已知复平面上的点对应的复数满足：存在模长为的复数，使得那么所有满足条件的点组成的图形的面积为______．
14.已知函数，为偶函数，且当时，记给出下列关于函数的说法：当时，；函数为奇函数；函
数在上为增函数；函数的最小值为，无最大值．其中正确的是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，的内角，，的对边分别为，，，设，若_____，是否存在使得存在最大值？
16.本小题分
已知函数．
求函数的周期和单调递增区间；
在中，角，，所对的边分别是，，，且满足，求的取值范围．
17.本小题分
如图，已知正方形边长为，过中心的直线与两边、分别交于点、．
求的值；
若是的中点，求的取值范围；
若是平面上一点，且满足，求的最小值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的正切值．
19.本小题分
函数．
根据不同取值，讨论函数的奇偶性；
若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若已知，设函数，，存在、，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
选择条件：由正弦定理知，，
，
，即，
由余弦定理知，，
，，
，，
当，即时，取得最大值．
选择条件：
，
，即，
，
，
，，
，，
当，即时，取得最大值．
16.解：，
根据的解析式可得，
令，解得，
即的单调递增区间为：；
因为，即，则由余弦定理，
因为，所以，
则，所以，
则，
即的值域为：
17.解：，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
的取值范围，
，
设，
则 ，
、、三点共线，
，，
又，
，
的最小值为．
18.证明：在三棱柱中，因为底面，
所以三棱柱是直三棱柱，故四边形是矩形，
又因为点是的中点，连接，则点是的中点，
连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：因为平面平面交于，平面，
所以平面，又平面，
所以，
过在平面内，作交于点，连接，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
又因为，所以，
故平面平面，
由可知，四边形是矩形，
取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
又因为，，是的中点，
所以在矩形内，利用等面积法可得，
，
又，
因此，
在中，，
因此二面角的平面角的正切值为．
19.解：函数的定义域为，关于原点对称．
当时，，，
此时，函数为奇函数；
当时，，，，
则，，
此时，函数为非奇非偶函数；
综上，当时，函数为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数；
当时，则有恒成立，此时；
当时，由，即，
即，
因为，所以，
则，
又因为，
所以不等式对任意的恒成立，
由，
即，
所以，
即．
因为函数在区间上单调递增，
所以，
由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，
则，
所以．
综上，实数的取值范围是；
由题意知，当时，，
当时，．
当时，，开口向下，
此时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
且，，，
则；
当时，，开口向上，
此时，函数在区间上单调递增，则．
所以，函数在区间上的最小值为．
对于函数，
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数是单调递减函数，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
由题意得，则有，解得．
所以实数的取值范围是．
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