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2024-2025学年清华大学附属中学朝阳学校高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去厦门旅游的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是( )
A. 和是函数的两个零点
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值
D. 函数的最大值为，最小值为
5.在的展开式中，若仅有第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第 项．
A. B. C. 或 D. 或
6.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
7.唐老师有语文，数学等本不同学科的练习册，平均分给个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，那么“”是“在上为增函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为( )
A. B.
C. D.
10.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.在的二项展开式中，常数项为 用数字作答
12.已知随机变量服从标准正态分布，对实数，若，则 ．
13.某同学参加门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
则的值为 ；则的值为 ．
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植千克莲藕，成本增加元种植万千克莲藕的销售额单位：万元是，则要使利润最大，每年需种植莲藕 万千克．
15.在电影哪吒之魔童闹海中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有 种不同的站法．
16.对于偶函数，下列结论中正确的是
函数在处的切线斜率为；
，使得；
若，则；
若，都有成立，则的最大值为．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询每个志愿者仅参与一类服务参与，，三个社区的志愿者服务情况如下表：
社区 社区服务总人数 服务类型
现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询
从上表三个社区的志愿者中任取人，求此人来自社区，并且参与社区消毒工作的概率；
从上表三个社区的志愿者中各任取人调查情况，以表示负责现场值班值守的人数，求的分布列；
已知社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系只需写出结论
18.本小题分
已知函数．
若函数在处取得极小值，求实数，的值；
求在上的值域；
已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数．
19.本小题分
在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动为了解某区教师对五类线上教育软件的使用情况每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件，从该区教师中随机抽取了人，统计数据如下表，其中，．
教育软件类型
选用教师人数
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
若某校共有名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数；
从该区教师中随机抽取人，估计这人中至少有人使用教育软件的概率；
设该区有名教师，从中随机抽取人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有名教师，其中有人使用教育软件，人使用教育软件，从学校中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师除学校外中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率估计值为试比较，和之间的大小结论不要求证明．
20.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴平行，求的值；
讨论函数的单调性；
若函数有两个极值点，，证明：．
21.本小题分
已知数列满足，，数列的前项和记为．
写出的最大值和最小值；
若，求的值；
是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由．
参考答案
1.
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17.解：记“从三个社区的志愿者中任选人，此人来自社区，并且参与社区消毒工作”为事件，则所以从三个社区的志愿者中任选人，此人来自社区，并且参与社区消毒工作的概率为．
从三个社区的志愿者中各任选人，由题表可知：，，三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，．
的所有可能取值为，，，．
．
．
．
．
的分布列为

18.因为，所以，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得
此时，由，得到或，
当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到极小值，符合题意．
所以．
，令，则或，
若时，恒成立，此时在上单调递增，
则在上单调递增，又，，
此时在上的值域为，
因为当时，，由，得到或，
当时，，
由，得到，即，
解得或，
若，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
不妨假设，其图象如图，
当，此时；
当，即时，
在上的最小值为，
最大值为；
当，即时，
又，
所以在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
若，当或时，，当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，不妨假设，其图象如图，
当，此时；当，即时，
在上的最小值为，最大值为，
当，此时；当，即时，在上的最小值为，最大值为，
当，即时，又，
所以在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
综上，当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为．
由可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为，
当时，函数取到极大值，即，所以，
当时，函数取到极小值，即，
又当时，，当时，，
所以当，即时，有个零点；
当，即时，有个零点；
当，即时，有个零点．
19.解：Ⅰ由统计表知：
，
若某校共有名教师，则估计该校教师中使用教育软件或的人数为：
人．
Ⅱ设“从该地区教师中随机抽取人至少有人使用教育软件”为事件，由题意，样本中名教师使用教育软件的人数为人，频率为，由频率估计概率，从该地区教师中抽取一名教师，该教师使用软件的概率为，记被抽取的人中使用软件的人数为，则符合事件的的可能取值为，，
估计这人中至少有人使用教育软件的概率为：


Ⅲ设该区有名教师，从中随机抽取人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为，
则，，，，；
该区学校有名教师，其中有人使用教育软件，人使用教育软件，
从学校中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率值为，
则；
从该区其他教师除学校外中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．
则．
20.因为，由题知，所以的值为．
易知定义域为，因为，
令，则，
当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增，
当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增，
当，即时，由，得到，
时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在单调递减上．
综上，当时，在区间上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在单调递减上．
证明：因为函数有两个极值点，，由知，且，
要证，即证，
又
，
即证，即证在区间上恒成立，
令，则，
令，则在恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以时，，
则在区间上单调递减，
所以，即当时，
又，所以当时，，故命题得证．
21.因为，，
所以，解得或，
当时，由，解得或，
当时，由，解得，
所以或或，
所以最大值为，最小值为．
当时，，则或，此时由知，不满足，舍去；
当时，，则或，满足，不满足，舍去；
当时，由，得或，由知满足题意，当时，不满足题意，
综上，或，或，
所以或或，
故．
由，可得为整数，，
所以，
则，
所以，
若存在数列，使得，则，
又为整数，所以方程无解，
故不存在数列，使得．

第1页，共1页

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