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2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，，有观测数据，得散点图，由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关
3.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
6.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第个数为该行中的最大值，则( )
A. B. C. D.
7.已知口袋中有个黑球和个白球除颜色外完全相同，现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，随机变量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对变量和的一组样本数据，，，进行回归分析，建立回归模型，则( )
A. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
C. 若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D. 若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系
10.已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
且，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 被除后的余数为
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 已知，则
D. 从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.某校举办元旦晚会，有个语言类节目和个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有______种排法数字作答
14.某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查用表示所有调查对象构成的集合以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为其中，则的最小值为 参考公式：，其中
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程：．
甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？
16.本小题分
某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价单位：元与销量单位：百件的对应数据，如下表所示：
求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；
计算与的相关系数；
由的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由．
参考数据：．
参考公式：相关系数．
17.本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值；
求的展开式中的常数项；
求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？
18.本小题分
年月日，世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰
米色内饰
若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立．
该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金元，外观和内饰均为同色可以获得奖金元，外观和内饰都异色可以获得奖金元，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
19.本小题分
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为．
求第次投篮的人是乙的概率；
求第次投篮的人是甲的概率；
已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则记前次即从第次到第次投篮中甲投篮的次数为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以或，
解得或，经检验符合题意．
甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，
先把人按：：分组，有种分组方法，
按：：分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同的游玩方法有种．
16.解：由题可知，；
计算得，
又因为，
所以；
由可知，与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系．
17.解：依题意，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍，
即，即，解得．
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为．
设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，则，
所以系数的绝对值最大值的项为第项．
18.解：根据题目：小明从这些模型中随机拿一个模型，
记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，
若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
则元．
19.解：第二次是乙投篮的概率为．
第次是乙投篮的概率为，，
且．
则
故，
则，．
当时，
，，
综上，，

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