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2024-2025学年湖南省沅澧共同体高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
3.已知一个圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，这是一只古代的青花牡丹纹碗已知该碗高，口径，底径，该碗的轴截面不含碗底部分是抛物线的一部分，如图，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机事件，满足，下列说法正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.如图，在四面体中，∽，，，，，，，分别为棱，，上的动点，则下列选项正确的是( )
A. 的最小值为
B. 平面
C. 直线与面所成角为
D. 四面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______．
13.已知函数，若，则的取值范围是______．
14.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，且．
求角的大小；
若，且，求，的值．
16.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数在的最大值和最小值；
若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
17.本小题分
在数列中，，，
Ⅰ证明：数列是等比数列；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ求数列的前项和公式．
18.本小题分
在平面四边形中，，，，，将沿翻折至，且满足．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点．
求椭圆的方程；
过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于，两点，
求证：通过点，的直线的斜率为定值，并求出该定值；
求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，
由正弦定理整理可得，
在中，，且，
可得，
又因为，
所以；
，且，
由余弦定理可得，
即，
解得，
联立，
解得，
所以，的值分别为，．
16.解：导函数，由于函数在点处的切线方程为．
因此有，，因此解得，．
根据第一问可得函数，．
当导函数，或．

单调递增 单调递减 单调递增
因此函数在上单调递减，在和上单调递增，
又因为计算可得．
因此函数在的最小值为，最大值为．
根据第二问可知，函数的极小值为，极大值为，
当，，，所以，当时，．
所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根．
17.证明：Ⅰ，
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
解：Ⅱ由Ⅰ得：，；
Ⅲ由Ⅱ得：．
18.证明：翻折前，
翻折后，
，，平面，平面，
平面．
解：以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，知，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
设二面角的平面角为，
则，
，
故二面角的正弦值为．
19.解：因为，
所以是等腰直角三角形，
即，
所以，
因为椭圆过点，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，，，
此时直线的方程是，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
同理得，
所以，
则直线的斜率为定值，且定值为；
由知，
此时，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
则的最大值为．
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