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2024-2025学年广东省深圳市福田外国语高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D.
2.的展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项
3.甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列如表，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则( )
A. 或 B. C. D.
6.某班有名班干部，其中名男生，名女生从中选出人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，这是函数的导函数的图象，则( )
A. 在处取得极大值
B. 是的极小值点
C. 在上单调递减
D. 是的极小值
10.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则( )
A.
B. 的展开式中项的系数为
C. 奇数项的二项式系数和为
D. 的展开式中项的系数为
11.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______．
13.在等差数列中，，公差为，且，，成等比数列，则 ______．
14.已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在处的切线方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为．
求该嘉宾获得公益基金元的概率；
求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
19.本小题分
如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
若某“阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
若某“阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
若为“阶万物数列”，求证：．
参考答案
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14.
15.解：由函数，可得，
因为函数在处取得极值，
可得，解得，，
当，时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，在处取得极小值，符合题意，所以，；
由知：，且，
可得且，
此时切线方程为，即；
综上，曲线在处的切线方程为．
16.解：当时，，解得，
当时，，
则，即，
又，则，
，故是以为首项，以为公比的等比数列，
数列的通项公式为；
由知，所以，
所以，
则，
两式相减得，，
整理得，，
所以，
所以．
17.解：由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
记“第一关成功且获得公益基金为零”，“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，
则，互斥，且，
又，
所以；
由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，
，
随机变量的分布列为：


所以元．
18.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
19.解：设等比数列的公比为，显然．
由，可得，解得．
由，可得，所以，
所以“阶万物数列”为，，，，或者是，，，．
设等差数列的公差为，
由，可得，即，即．
当时，，此时，不是“阶万物数列”．
当时，由和，可得，解得，，
所以．
当时，由和，可得，解得，，
所以
综上所述，或．
证明：由已知可知，必有，也必有，其中，，且．
设，，，是数列中所有大于的数，，，，是数列中所有小于的数，
由已知可得，，
所以
．
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