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2024-2025学年广东省深圳市高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知盒中装有大小形状完全相同的个红球、个白球、个黑球．甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为( )
A. B. C. D.
2.如果随机变量，则等于( )
注：
A. B. C. D.
3.设随机变量，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.满足的正整数等于( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知，则等于( )
A. B. C. D.
6.等于( )
A. B. C. D.
7.某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占等麦种种植后所结麦含有粒以上麦粒的概率分别为，，则这批麦种种植后所结麦穗含有粒以上麦粒的概率为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.世纪年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布，其密度函数，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布且当时，对任意实数，记，则( )
A.
B. 当时，
C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D. 随机变量，当，都增大时，概率单调增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，则 ______．
13.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了名男教师和名女教师去支援新疆教育，要求这名教师被分派到个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排名教师，其中名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有______种
14.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数在区间的最大值和最小值．
16.本小题分
据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生
若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的期望与方差；
若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差．
17.本小题分
已知的展开式中第项与第项的二项式系数之和是，
求的值；
求展开式中各项系数最大的项．
18.本小题分
已知函数．
若是的极值点，求，并讨论的单调性；
当时，证明．
19.本小题分
已知函数．
证明：函数在定义域内存在唯一零点；
设，试比较与的大小，并说明理由：
若数列的通项，求证．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，则，
所以函数在点处的切线方程为；
由得，
由，得，或．
令，得或；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
所以，，．
16.解：根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
依题意，佩戴角膜塑形滰的有人，其中名是男生，名是女生，
故从中抽人，男生人数的所有可能取值分别为，，，
其中：，
，
，
所以男生人数的分布列为：


所以，
；
由已知可得：，
则：，，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是．
17.解：由题意得，即，化简得，解得；
由可知题中的二项式为，展开式中第项的系数为，
设，化简得，可得，结合，解得．
因此，展开式中各系数最大的为第三项，即．
18.解：，
，
是的极值点，
，得；
当在时，，递减，
当在时，，递增；
当时，
，
，，
故在上有唯一实数根，且．
当时，，
当时，，
从而当时，取得最小值，
，
．
另解：当时，
，
令，，
当时，，单调递减，当，时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
故，
取等条件不一致，故，
即．
19.解：证明：已知，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
又，
所以函数在定义域内存在唯一零点；
，理由如下：
要证，
需证，
要证，
即证，
令，，
此时要证，
不妨设，
易知函数在区间上单调递增，
所以，
此时成立，
故有；
证明：由知，若，总有成立，
不妨令，，
此时，
因为，
所以，
易得，
所以，
故成立．
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