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2024-2025学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角等于( )
A. B. C. D.
4.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在三角学准则中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用角表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用角表示，则( )
A. B. C. D.
6.在下列函数中，周期为的函数是( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上共有个零点
8.若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完整函数”已知是上的“完整函数”，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是的一条对称轴
B. 的对称中心是
C. 在区间上的值域是
D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时，的外接圆半径为
D. 若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数为纯虚数，则实数为______．
13.在中，角，，的对边分别为，，，，则 ______．
14.在中，，，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
求实数；
定义复数的一种运算“”：，求．
16.本小题分
已知．
求；
求．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且向量与向量共线．
求；
若，的面积为，求的值．
18.本小题分
已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为．
求的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点不含点、，作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．
求的面积的最大值；
从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：复数，，，
，
是“理想复数”，，
．
由知，，则，
，
由，
得．
16.解：因为，，则，
所以．
因为，所以，
又，所以，
所以
．
17.解：由已知向量共线可得：，
则由正弦定理可得：，即，
又，，
又，所以；
由已知，所以，
由余弦定理得，
即，又，解得或，
所以．
18.解：
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，所以，解得，
所以，
令，则，
所以的单调递减区间为，；
由知，，
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得：，
令，，则，
所以，因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是．
19.解：设，则，，
在中，，，则，
，
所以，
因为，则，
当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为．
过点作，垂足为点，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，
因为，，则为等腰直角三角形，则，
所以，，，
所以，
令，
因为，则，则，
所以，，
所以，
所以，
故当时，取最大值，
因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为．
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