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2024-2025学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，若任意，且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的导数 ______．
6.已知为虚数单位，复数满足，则 ______．
7.若，则 ______．
8.已知全集，，则 ______．
9.已知向量，，则在上的数量投影是______．
10.若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为______．
11.已知向量，点，若向量与方向相同，且，则点的坐标为______．
12.若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为______．
13.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______．
14.在中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为______．
15.设，且，满足，则的取值范围是______．
16.若对任意的，存在满足不等式，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知复数是虚数单位．
若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
设，分别记复数，在复平面上对应的点为，，求与的夹角．
19.本小题分
设三个内角，，所对的边分别为，，已知，且．
求角的大小；
如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得过点分别作直线，的垂线，，垂足分别是，设，求的最大值及此时的取值．
20.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数；
证明：在区间上有且只有一个零点；
记函数的零点为，证明：．
21.本小题分
对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”．
设，且，若是的“向量”，求实数的取值范围；
若，且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
已知，，均是的“向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：因为是偶函数，且定义域为，
所以恒成立，
即，
则恒成立，
所以；
由可得，
若，则，
所以，即或，
所以或，
故的取值范围为或．
18.解：由复数，，
得，则，
第一象限需满足：，解得 ．
则实数的取值范围是；
当 时，点 ，，，
设的夹角为，则，
且．
19.解：因为，所以，所以，
因为，又，
所以，即，
所以，所以．
因为，则依题意有，又设，所以，
在中，，在中，，又，
所以，
因为，所以，
所以当时，即时，有最大值．
所以的最大值为，此时．
20.解：因为，
因此，
因此或，
当时，，那么，
又，因此，
当，那么，
又，所以，
因此，因此，
因此在上的解集为．
证明：，
当时，那么可得，
此时函数在区间上单调递增，
在区间上也单调递增，因此在区间上单调递增，
，，
因此函数在区间上有且只有一个零点；
证明：令函数的零点为，
因此，并且，因此，
因此，
令，由于，所以可得，
因此，因此，
又因为，那么，
因此，
那么．
21.解：由题意可得：，即，
因为，则，，，
可得，则，
解得或，所以实数的取值范围．
存在“向量”，且“向量”为，，理由如下：
由题意得若存在“向量”，则，
，
可得
，
则，即，
所以当或时，符合要求．存在“向量”，且“向量”为．
由题意，得，，
即，即，
同理，，
三式相加并化简，得，
即，，所以，
设由，得
设，则依题意得
，，
从而，，
，，
以上个式子相加化简得，，，
，
，，
所以，，，
其中，
，
当且仅当时等号成立，故．
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