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2024-2025 学年上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学高一下
学期期中诊断调研数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ． 都是单位向量，以下命题正确的是( )
A. = 1 B. =
→ →
C.若 // ，则 = D. =
2.在 中，sin = sin 是 为等腰三角形的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知点 tan , cos 在第二象限，则π 是第( )象限的角
A.一 B.二 C.三 D.四
4.已知函数的部分图像如图所示，则函数 = ( )的表达式可能是( )
A. ( ) = sin tan B. ( ) = tan sin
C. ( ) = cos tan D. ( ) = tan cos
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.若log2 = 3，则 = ．
6.函数 = 2cos2 的最小正周期是 ．
7.指数函数 = ( 1) 在 上是严格增函数，则实数 的取值范围是 ．
→ →
8.向量 = (2, ), = (1,3)，若 // ，则实数 的值为 ．
9.若点 ( 2,1)是角 终边上的一点，则 sin = ．
10.在 中，点 是边 上一点，| | = 2| |，设 = , = ，用 .表示 = ．
11 3sin cos = 1.若 sin +cos 3，则 tan π + = ．
12 π.已知圆心角为3的扇形面积等于 3π，则该扇形的弧长为 ．
13 , 1 3.已知 都是锐角，cos = 3，cos( + ) = 5，则 sin = ．
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14.函数 ( ) = sin + cos , ∈ [0, ]的值域为
15.已知向量 = cos , sin ， = 1, 3 ，则 的最大值为 ．
16.若存在实数 和正整数 ，使得函数 ( ) = cos2 sin 在区间 0, π 内恰有 1000 个零点，则所有满足
条件的正整数 的取值集合为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知全集 = R，集合 = ∣| 2| ≤ 1 , = 3 +1 < 0 ，求 ∩ 和 ∪ ．
18.(本小题 14 分)
已知向量 = (2,2), = (2, 1), = (4,1)．
(1)求 在 上的数量投影；
(2)求满足 = + 的实数 , 的值：
(3)若向量 满足 ⊥ + ，且 = 2 17，求 的坐标．
19.(本小题 14 分)
在锐角△ 中角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 sin = 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 面积为 3，求边 的最小值．
20.(本小题 14 分)
吴淞口灯塔 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 (单位：m)，如
示意图，垂直放置的标杆 的高度 = 3m，使 ， ， 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ = ，
∠ = . (本题的距离精确到 0.1m)
(1)该小组测得 的一组值为 = 51.83°， = 47.33°，请据此计算 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 (单位：m)，使 与 之差较大，可以提
高测量精确度.若灯塔的实际高度为 20.1m，试问 为多少时， 最大？
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21.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin + cos + sin cos + 1 , , ∈ R ．
(1)当 = = 0, = 1 时，求函数 = ( )的单调增区间；
(2)当 = 1, = 0 时，设 ( ) = ( ) 1，且函数 ( ) π的图像关于直线 = 6对称，将函数 = ( )的图像
π
向右平移6个单位，得到函数 = ( )，求解不等式 ( ) ≥ 1；
(3)当 = = 1, = 0 时，若实数 , , 使得 ( ) + ( ) = 1 对任意实数 恒成立，求实数 , ,
的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.8
6.π
7. > 2
8.6
9. 55
10.2 + 1 3 3
11.12/0.5
12. 2π
13.4+6 215
14.[ 1, 2]
15.3
16. 1001,1000,999,500,667
17.解：令| 2| ≤ 1，解得 1 ≤ ≤ 3，则 = [1,3]，
3
令 +1 < 0，解得 1 < < 3，则 = ( 1,3)，
故 ∩ = [1,3), ∪ = ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)．
18.(1)因为 = (2, 1)， = (4,1)，所以 = 2 × 4 + ( 1) × 1 = 7， = 42 + 12 = 17，
因此， 在 上的数量投影

cos , = = 7 17 17 ．
(2)由题意， = (2,2)， + = (2 + 4 , + )，
又 = + 2 + 4 = 2 = 1，所以 + = 2，解得 = 1．
(3)由题意， + = (4,1)，设 = ( , )，
4 + = 0
因为 ⊥ + ，且 = 2 17，所以 2 2 2 , + = 2 17
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= 2 = 2
解得 = 8或 = 8，所以 = (2, 8)或 = ( 2,8)．
19.(1)由正弦定理得，2sin sin = 3sin ，因为 sin > 0，
sin = 3 故 2 ，又因为锐角 ，∴ ∈ 0, 2 ，∴ = 3．
(2) 1 1 3 3由题意得 = 2 sin = 2 × 2 = 4 = 3，则 = 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 2 = 2 + 2 ≥ 2 = = 4，
当且仅当 = = 2 时等号成立，故 min = 2．
20.(1)由 可得： = tan =

tan ，

同理可得 = tan , = tan ，
因为 = ，

所以tan

tan = tan ，
可得 = tan tan tan ≈ 20.4 ．
(2)由题意可得 = ，
则 tan = , tan =

=
= ，

所以 tan( ) = tan tan 1+tan tan = 1+
= 2+ ( ) = ( )，
+
+ ( )而 ≥ 2 ( )，
当且仅当 = ( ) = 20.1 × (20.1 3) ≈ 18.5 时等号成立，
故当 = 18.5 时，tan( )取最大值，

因为 0 < < < 2，所以 0 < <

2，
所以 = 18.5 时， 最大．
21.(1)解：当 = = 0， = 1 时，可得函数 ( ) = sin cos + 1 = 12 sin2 + 1，
令 2 π π2 ≤ 2 ≤ 2 π +
π
2 , ∈ Z
π π
，所以单调增区间为 π 4 , π + 4 , ∈ Z；
(2)解：当 = 1， = 0 时，可得 ( ) = ( ) 1 = sin + cos = 1 + 2sin( + )，其中 tan = ，
π
因为 ( )关于直线 = 6对称，
( ) π 2 1 3可得 2max = 6 = 1 + ，即 2+ 2 = 1 + ，解得 = 3，
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( ) = sin + 3cos = 2sin + π所以 3 ，
将函数 = ( ) π的图像向右平移6个单位，得到函数 ( ) = 2sin +
π
6 ，
由 ( ) ≥ 1，即 sin + π ≥ 1 π6 2，则6 + 2 π ≤ +
π 5
6 ≤ 6π + 2 π, ∈ Z
2
解得 2 π ≤ ≤ 3 π + 2 π, ∈ Z，
2
所以不等式的解集为 2 π, 3π + 2 π ∈ Z ；
(3)当 = 3， = 2， = 0 时，则 ( ) = sin + cos + 1，
π π
可得 ( ) = 2sin( + 4 ) + 1，则 ( ) = 2sin( + 4 ) + 1，
于是 ( ) + ( ) = 1，
2 sin( + π可化为 4 ) + 2 sin( +
π
4 ) + + = 1，
即 2 sin( + π4 ) + 2 sin( +
π
4 )cos 2 sin cos( +
π
4 ) + ( + 1) = 0，
π π
所以 2( + cos )sin( + 4 ) 2 sin cos( + 4 ) + ( + 1) = 0．
+ cos = 0 (1)
由已知条件，上式对任意 ∈ R 恒成立，故必有 sin = 0 (2) ,
+ 1 = 0 (3)
若 = 0，则由(1)知 = 0，显然不满足(3)式，故 ≠ 0，
所以由(2)知 sin = 0，故 = 2 π + π或 = 2 π, ∈ Z，
当 = 2 π时，cos = 1，则(1)、(3)两式矛盾，
故 = 2 + , ∈ Z，cos = 1 由(1)、(3)知 = = 12，
所以 = 2 + , ∈ Z 1， = = 2；
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