资源简介

2024-2025 学年上海市嘉定区第二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin( 120 )tan225 的值为( )
A. 32 B.
3
2 C.
1
2 D.
1
2
2.若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为( )
A. 40πcm2 B. 80πcm2 C. 40 cm2 D. 80 cm2
3.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0)，函数 = ( ) π 4π π 2π满足 4 = 2， 3 = 0，且在区间 4 , 3 上单调，
则 的最大值为( )
A. 613 B.
8
13 C.
30
13 D.
42
13
4 π.对于任意 ∈ 0, 2 ，不等式 3 + 2sin cos
2 + sin + cos 2 ≥ ( )有以下两个结论：①当 < 4 时，
对于任意实数 ，不等式( )成立；②对于任意实数 ，总存在 > 9，使不等式( )成立那么( )
A.①正确②错误 B.①错误②正确 C.①正确②正确 D.①错误②错误
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.20o化为弧度是 弧度．
6.化简 + + = ．
7.已知角 的终边上的一点 (4,3)，则 cos = ．
8.三角形 中， = 3， = 4 π， = 4，则 = ．
9 sin +5cos 2π .已知 tan = 2，则 3π = ．3sin 2 + +sin
10.方程 sin 3cos = 2在[0,2 ]上的解组成的集合为 ．
11 .若 ( ) = sin 2024 + 2024 +1 为奇函数，则 = ．
12.已知 , 是锐角，且 sin = 47 3, cos( + ) =
11
14，则 sin = ．
13 sin + π 1.已知 4 = 3 , ∈ 0, π ，则 sin2 = ．
14.如图，为测量河对岸 ， 两点间的距离，沿河岸选取相距40 的 ， 两点，测得∠ = 60°，∠ = 45°，
∠ = 60°，∠ = 30°，则 ， 两点的距离是 .
第 1页，共 7页
15.已知点 为△ 内一点， + 2 + 3 = 0 ，则 = ．
16.已知函数 = ( )满足：①定义域为 ；②对任意 ∈ ，有 ( + ) = ( )；③当 ∈ [0, ]， ( ) =
sin , 0 ≤ ≤ π2
2 π ；若函数 ( ) =
1
2 ln| |，则函数 = ( ) ( )在 上零点个数是
π π , 2 < ≤ π
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
在 中，已知 是 的中点， 是 的重心，记 = ， = ，试用 、 表示 、 ．
18.(本小题 14 分)
3
已知 sin = 5，且 为第二象限角．
(1)求 cos ，tan 的值；
(2) sin 2π +cos 3π+ 求 π 的值．sin 2 sin π
19.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 = ( )的解析式；
(2)求函数 = ( )的单调递增区间；
(3) ∈ , 当 6 3 时，求函数 = ( )的值域．
20.(本小题 14 分)
将一块圆心角为 120°，半径为 20cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法(如图所示)，让矩形一边在扇
形的一条半径 (图 1)，或让矩形一边与弦 平行(图 2)，对于图 1 和图 2，均记∠ = ．
第 2页，共 7页
(1)对于图 1，请写出矩形面积 1关于 的函数解析式；
(2)对于图 2，请写出矩形面积 2关于 的函数解析式；(提示：∠ = 120°)
(3)试求出 1的最大值和 2的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
21.(本小题 14 分)
在平面直角坐标系中，锐角 、 的终边分别与单位圆交于 、 两点．
(1) 5 3如果 点的纵坐标为13， 点的横坐标为5，求 cos( + )的值；
(2)若角 + 的终边与单位圆交于 点，经点 、 、 分别作 轴垂线，垂足分别为 、 、 .求证：线段 、
、 能构成一个三角形；
(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.π 19/9π
6.
7.45/0.8
8.2 2 + 1 或 2 2 1
9. 35/ 0.6
10. 7 1312 , 12
11.2024
12. 3 12 /2 3
13. 79
14.20 6
15.3
16.6
17.因为 是 1的中点，则 = 2 + ，又 是 的重心，
则 = 2 = 2 × 1 + = 1 + ， 1 1 13 3 2 3 = 3 = 3 × 2 +
= 16 +

又 = + = + 1 2
= 1 1 6 + + 2 =
1 + 2 3 3 ，
所以 = 1 1 2 3 + ， = 3 + 3 ．
18.(1)因为 sin = 35，且 为第二象限角，
第 4页，共 7页
所以 cos = 1 sin2 = 45，tan =
sin 3
cos = 4．
3 4
(2) sin 2π +cos 3π+ = sin cos

= 5 5 = 1
sin π sin π cos sin 4 3 7
．
2 5 5
19.(1)
= 1 ( 3) = 2 = 1+( 3)根据图象可得： 2 ， 2 = 1，
7π π 2π
由 = 2 12 12 = | |，因为 > 0，所以解得 = 2，
此时 ( ) = 2sin(2 + ) 1 π，代入最高点 12 , 1 可得;
1 = 2sin(2 π12 + ) 1
π π π
，可得6 + = 2 + 2 π = 3 + 2 π， ∈ Z，
又因为| | < π π2，所以 = 3，
( ) = 2sin(2 + π即 3 ) 1；
(2) π由 2 + 2 π ≤ 2 +
π ≤ π3 2 + 2 π， ∈ Z
5π π
，解得 12 + π ≤ ≤ 12 + π， ∈ Z，
所以 ( ) = 2sin(2 + π 5π π3 ) 1 的递增区间为 12 + π, 12 + π , ∈ Z；
(3)当 ∈ π π π6 , 3 时，2 + 3 ∈ 0, π ，此时有 sin 2 +
π
3 ∈ 0,1 ，
即 ( ) = 2sin(2 + π3 ) 1 的值域为 1,1 ．
20.(1)对于图 1，在 中， = 20sin ， = 20cos ，
矩形 的面积为 1 = 20sin × 20cos = 200sin2 0 < < 90 ．
(2)对于图 2，在 = sin 中，由正弦定理得 sin120 ．
由对称性可知，∠ 的平分线 所在直线为对称轴，则 = 2 sin 60 ， = 20，
所以矩形 的面积为 2 = × =
sin
sin120 × 2 sin 60
= 800 sin cos 33 sin
2
第 5页，共 7页
= 800 12 sin2
3
3 ×
1 cos2 800 3 1
2 = 3 sin 2 + 30 2 0 < < 60
．
(3) = 200sin2 0 < < 90 1 ，
当 = 45 时， 1取最大值，最大值为 200；
= 800 32 3 sin 2 + 30
1 0 2 < < 60
．
当 = 30 400 3时， 2取最大值，最大值为 3 ．
所以 2 > 1，选择图 2 裁法得到的矩形的面积更大．
21.(1)由已知得，sin = 5 313，cos = 5， 、 为锐角，
则 cos = 1 sin2 = 1213，sin = 1 cos
2 = 45，
则 cos( + ) = cos cos sin sin
= 12 3 5 4 1613 × 5 13 × 5 = 65．
(2)由已知得， = sin ， = sin ， = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
∵ , ∈ 0, π2 ，∴ + ∈ 0, π ，
∴ cos ∈ (0,1)，cos ∈ (0,1)，
∴ sin( + ) = sin cos + cos sin < sin + sin ，即 < + ①，
∵ cos( + ) ∈ ( 1,1)，
∴ sin = sin[( + ) ] = sin( + )cos cos( + )sin < sin( + ) + sin ，即 < + ②，
同理 sin = sin[( + ) ] = sin( + )cos cos( + )sin < sin( + ) + sin ，即 < + ③，
由①②③可知，线段 、 、 能构成一个三角形．
(3)设(2)中的三角形为 ′ ′ ′，角 ′, ′, ′所对的边长为 sin , sin , sin( + ),
sin2 +sin2 sin2( + )
由余弦定理可得，cos ′ = 2sin sin
sin2 + sin2 (sin cos + cos sin )2
= 2sin sin
sin2 + sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 2sin cos cos sin
= 2sin sin
sin2 (1 cos2 )+ sin2 (1 cos2 )
= 2sin sin cos cos
sin2 sin2 + sin2 sin2
= 2sin sin cos cos
第 6页，共 7页
2sin2 sin2
= 2sin sin cos cos
= sin sin cos cos
= cos( + )
∴ sin ′ = 1 cos2( + ) = sin( + )
′ ′
2 = = sin( + )设外接圆半径为 ，则由正弦定理可得，
sin ′ sin( + )
= 1，
∴ = 12，
∴ = π4．
故(2) π中三角形的外接圆面积为定值4．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑