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2024-2025 学年江西省南昌中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4 .在 0～2 范围内，与角 3终边相同的角是
A. 2 3 B.

3 C.
4
6 D. 3
2.函数 ( ) = 3tan( 2 4 )， ∈ 的最小正周期为
A. 2 B. C. 2 D. 4
3.已知 tan = 3，则 sin cos =( )
A. 3 3 7 410 B. 5 C. 10 D. 5
sin2 2cos24 .化简： =( )
sin π4
A. 2 2cos B. 2cos C. 2sin D. sin
5.函数 ( ) = 3cos 3sin 的图像的一条对称轴的方程是
A. = 5 6 B. =
2
3 C. = 3 D. = 3
6.函数 = sin( + )在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为( )
A. = 2sin 2 + 2π3 B. = 2sin 2 +
π
3
C. = 2sin 12
π
3 D. = 2sin 2
π
3
7 π.已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点 (2,3)，则 tan 2 + 4 =( )
A. 125 B.
5
12 C.
17
7 D.
7
17
8.若将函数 ( ) = 2sin cos 2sin2 + 1 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正
值是
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A. B. C. 3 8 4 8 D.
3
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知函数 ( ) = sin 2 ( ∈ )，下面结论正确的是
A.函数 ( ) 的最小正周期为 2 B.函数 ( )在区间 0, 2 上是增函数
C.函数 ( )的图像关于直线 = 0 对称 D.函数 ( )是奇函数
10.关于函数 ( ) = sin| | + |sin |的叙述正确的是( )
A. ( ) 是偶函数‘ B. ( )在区间 2 , 单调递增
C. ( )在[ ， ]有 4 个零点 D. ( )的最大值为 2
11 2π.已知函数 ( ) = cos 3 ( > 0), 1, 2, 3 ∈ [0, π]，且 ∈ [0, π]都有 1 ≤ ( ) ≤ 2 ，满足
3 = 0 的实数 3有且只有 3 个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数 1有且只有 1 个；②满足题
1 ( ) 0, π 13 19目条件的实数 2有且只有 个；③ 在 10 上单调递增；④ 的取值范围是 6 , 6 .其中所有正确结论
的编号是( )
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知扇形的圆心角为 60°，所在圆的半径为 10 ，则扇形的面积是 2．
13 1 1.已知 tan = 2，tan( ) = 5，则 tan(2 ) = ．
14 + .若函数 = ( )的定义域存在 1, 2 1 ≠ 2 ，使 1 22 = 1 成立，则称该函数为“互补函数”.函数
( ) = 3 cos( ) 12 3 2 sin( +
2
3 )( > 0)，则当 = 3 时， (

3 ) = ；若 ( )在[ , 2 ]上为“互
补函数”，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求值：
sin110°sin20°
(1)
cos2155° sin2 °
;
155
sin50° 1+ 3tan10°(2) cos20
°
．
cos80° 1 cos20°
16.(本小题 15 分)
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已知 sin( ) = 14 5 , cos( + ) =
1
3，其中 0 < < 2 , 0 < < 2
(1)求 sin2 的值
(2)求 cos( + 4 )的值
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2cos sin + 3 3sin
2 + sin cos ．
(1)当 ∈ 0, 2 时，求 ( )的值域；
(2)用五点法在下图中画出 = ( ) 5 在闭区间 6 , 6 上的简图．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2sin(2 3 )．
(1)求函数 ( )的最小值及 ( )取到最小值时自变量 的集合；
(2)指出函数 = ( )的图象可以由函数 = sin 的图象经过哪些变换得到；
(3)当 ∈ [0, ]时，函数 = ( )的值域为[ 3, 2]，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0)的一系列对应值如表：
π π
5π 4π 11π 7π 17π6 3 6 3 6 3 6
( ) 1 1 3 1 1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数 ( )的一个解析式；
(2) 2π π根据(1)的结果，若函数 = ( )( > 0)的周期为 3 ，当 ∈ [0, 3 ]时，方程 ( ) = 恰有两个不同的解，
求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.50 3
2
13.79
14.0 9； 4 ,
5 13
2 ∪ 4 , + ∞
° ° ° ° 1 °
15.(1) sin70 sin20 cos20 sin20 sin40 1原式= 2cos310° = cos50° = sin40° = 2．
(2) ∵ sin50° 1 + 3tan10°
cos10° + 3sin10°
= sin50°·
cos10°
°
= sin50°· 2sin40 = 2sin40°cos40° = sin80° cos10°°cos10° cos10° cos10° = cos10° = 1，
cos80° 1 cos20° = sin10° 2sin210° = 2sin210°，
sin50° 1+ 3tan10° cos20°
∴
cos80° 1 cos20°
= 1 cos20
° 2sin210°
2sin210° = 2sin210° = 2．
16.(1)因为 sin π 24 = 2 (sin cos ) =
1
5，
所以 sin cos = 25 ，
所以(sin cos )2 = sin2 + cos2 2sin cos = 1 sin2 = 225，
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所以 sin2 = 2325．
(2) sin π = 1 cos( + ) = 1因为 4 5， 3，
其中 0 < < π π2，0 < < 2，
∴ cos π = 2 64 5 , sin( + ) =
2 2
3 ，
所以 cos + π4 = cos ( + )
π
4
π π
= cos( + )cos 4 + sin( + )sin 4
= 2 6 × 1 + 2 2 × 1 = 2( 2 6)5 3 3 5 15 ．
17.(1) ( ) = 2cos sin + 3 3sin
2 + sin cos

= 2cos sin cos 3 + cos sin 3 3sin
2 + sin cos
= sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + 3 ，
因为 ∈ 0, 2 ，
4 3
所以3 ≤ 2 + 3 ≤ 3，即 2 ≤ sin 2 + 3 ≤ 1，
所以当 ∈ 0, 2 时， ( )的值域为 3, 2 ；
(2) = 2 由 2得 = ，列表如下：

7 5 6 12 3 12 6

2 + 3 3 0 2
2
2
2sin 2

+ 23 0 2 0 0
如图所示：
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．
18.(1) ( )min = 2，此时 2

3 = 2

2 , ∈ ，即 =

12 , ∈ ，
即此时自变量 的集合是{ | = 12 , ∈ }．
(2)把函数 = sin 的图象向右平移3个单位长度，得到函数 = sin( 3 )的图象，再把函数 = sin( 3 )
1
的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，得到函数 = sin(2 3 )的图象，最后再把函数 =
sin(2 3 )

的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 = 2sin(2 3 )的图象．
(3)如图，因为当 ∈ [0, ]时， = ( ) 5 取到最大值 2，所以 ≥ 12．
又函数 = ( ) 5 在[ 12 ,
11
12 ]上是减函数，
[ 5 故 的最大值为 12 ,
11
12 ]内使函数值为 3的值，
令 2sin(2 3 ) = 3
5 5 5
，得 = 6，所以 的取值范围是[ 12 , 6 ]．
19.(1)由表格知，函数 ( ) 11π π的最小正周期 = 6 ( 6 ) = 2π， =
2π
= 1，
+ = 3 = 2
由 = 1，解得 = 1 ,
( π由 6 ) = 1，得
π
6 × 1 + =
π
2 + 2 π, ∈ Z， =
π
3 + 2 π, ∈ Z，
π π
则当 ∈ Z 时， ( ) = 2sin( 3 + 2 π) = 2sin( 3 ) + 1，
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所以 ( ) = 2sin( π3 ) + 1．
(2)由(1)得 ( ) = 2sin( π 2π 2π3 ) + 1，则 = 3，即 = 3，
于是 = 2sin(3 π3 ) + 1，
令 = 3 π π π3，由 ∈ [0, 3 ]，得 = 3 3 ∈ [
π 2π
3 , 3 ]，
依题意，2sin + 1 = ，即 sin = 1 π 2π2 在[ 3 , 3 ]上恰有两个不同的解，
= sin [ π , 2π ] = 1即函数 在 3 3 上的图象与直线 2 有两个交点，
1 π 2π
在同一坐标系内作出直线 = 2 与函数 = sin 在[ 3 , 3 ]上的图象，
3 ≤ 1观察图象，当 2 2 < 1，即 3 + 1 ≤ < 3
1 π 2π
时，直线 = 2 函数 = sin 在[ 3 , 3 ]上的图象有两个
交点，
所以实数 的取值范围是[ 3 + 1,3)．
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