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2024-2025 学年江苏省苏州大学附属中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 3 i，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. i D. i
2.函数 ( ) = sin cos 的最小正周期为( )
A. 12π B. π C. 2π D. 4π
→
3.在 中， 是 边上的中点，则 =( )
→ → → → → → → →
A. 2 + B. 2 C. 2 D. + 2
4.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 对边，若 cos + 3 sin = 0，则 =( )
A. π π 2π 5π6 B. 3 C. 3 D. 6
5 1 1.已知平面向量 与 满足： 在 方向上的投影向量为 , 4 在 方向上的投影向量为2 ，且 = 2，则
=( )
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 4
6.函数 ( ) = sin(4 + ) π2 < <
π π
2 的图象向右平移12个单位长度后，其图象关于 轴对称，则 =( )
A. π B. π π3 6 C. 6 D.
π
4
7.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 ， ，但不能到达，现在岸边取相距 4 的 ， 两点，测得∠ = 75°，
∠ = 45°，∠ = 30°，∠ = 45°( , , , 在同一平面内)，则两目标 ， 间的距离为 ．
A. 8 5 B. 4 15 C. 2 153 3 3 D. 2 5
8 π.若 sin( + ) = cos2 sin( )，其中 2 ， + ， ≠ 2 + π， ∈ Z，则 tan( + )的最大值为( )
A. 62 B.
6
4 C.
2 2
2 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9 ( ) = 2sin( + ) > 0, < < .函数 2 2 的部分图象如图所示，则( )
A. 的值为 2
B. 的值为 3
C.函数 ( ) 在区间 4 , 0 上单调递增
D.当 = 3 + ( ∈ Z)时， ( )取最大值
10.在 π中， = 2, = 3, = 3， 为边 上一动点，则( )
A. = 7
B. △ 21的外接圆半径为 3
C.当 为 7中点时， = 2
D.当 为角 6 3的角平分线时， = 5
11.已知等边 的边长为 4，点 ， 满足 = 2 ， = ， 与 交于点 ，则( )
A. = 2 1 3 + 3 B.
= 8
C. = 2 D. | + + | = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 在复平面内对应的点在第二象限，且| | = 5，则 = . (写出满足条件的一个复数即可)
13.已知向量 , , 满足| | = 1，| | = 3，| | = 2 ，且 + + = 0，则cos , = ．
14.已知函数 ( ) = 2sin + 6cos ( > 0)，若 ( )在区间(π, 2π)内没有最值，则 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 = (1, 2)．
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(1)若 = 2 5，且 // ，求 的坐标；
(2)若 = 2 5，且 2 与 2 + 垂直，求 与 的夹角 ．
16.(本小题 15 分)
已知 , 6 3均为锐角，且 sin = 3 , cos( + ) = 3 ．
(1)求 cos 的值：
(2)求 tan(2 )的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin cos cos2 + sin2 + ( ∈ R)的最小值为 1
(1)求 的值；
(2)求 ( )在[0, ]上的单调递增区间；
(3)若 ∈ π 2π12 , 3 ，使得 ( ) + < 0 成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在梯形 中， /\ !/ ， = 5， = 2 = 4，且 = 0， 是线段 上一点，且 = 4 ，
为线段 上一动点．
(1)求∠ 的大小；
(2)若 为线段 的中点，直线 与 相交于点 ，求 cos∠ ；
(3)求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
sin sin
在面积为 的 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 sin + sin =
2 + 2 sin ．
(1)求 的值；
(2)若 = 2，求 周长的最大值；
(3)若 为锐角三角形，且 边上的高 为 2，求 面积的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4 + 3i(答案不唯一)．
13. 5 1326 /
5
26 13
14. 0, 1 1 712 ∪ 6 , 12
15.解：(1)由 = (1, 2)，得 = 12 + ( 2)2 = 5，
又 = 2 5，所以 = 2
因为 // ，所以 =± 2 ，
所以 = (2, 4)或 = ( 2,4)
(2)因为 2 与 2 + 垂直，所以 2 2 + = 0，
2
即 2 2 3 2 = 0，
将 = 5， = 2 5代入，得 = 10，
cos =

所以 = 1，
又 ∈ 0, π ，得 = π，即 与 的夹角为π．
16.解：(1) 6因为 为锐角且 sin = 3 ，
所以 cos = 1 sin2 = 33 ，
因为 cos( + ) = 33 ，且 0 < + < π，
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所以 sin( + ) = 1 cos2( + ) = 63
所以 cos = cos ( + ) = cos( + )cos + sin( + )sin = 13．
(2)cos = 13， 是锐角，则 sin = 1 cos
2 = 2 23 ，
tan = sin 于是 cos = 2, tan =
sin
cos = 2 2，
所以 tan2 = 2tan 1 tan2 = 2 2，
所以 tan(2 ) = tan2 tan 4 21+tan2 tan = 7 ．
17.解：(1) ( ) = 2 3sin cos cos2 + sin2 + = 2sin 2 π6 + ，
由题意得 2 + = 1 = 3，
(2)由(1)得 ( ) = 2sin 2 π6 + 3，
2 π令 6 = ，因为 ∈ [0, ]，所以 ∈
π
6 ,
11π
6 ，
π 11π π π 3π 11π
因为 = 2sin + 3 在 ∈ 6 , 6 的单调递增区间 6 , 2 , 2 , 6 ，
π由 6 ≤ 2
π π π 3π
6 ≤ 2，得 0 ≤ ≤ 3； 2 ≤ 2
π ≤ 11π 5π6 6 ，得 6 ≤ ≤ π，
所以 ( ) π 5π在[0, ]上的单调递增区间为 0, 3 , 6 , π ，
(3)由题意知， ( ) + min < 0，即 ( )min + < 0,
π 2π π π 7π
当 ∈ 12 , 3 时，2 6 ∈ 3 , 6 ，
所以 2 π6 =
π π
3时，即 = 12时， ( )min + = (
π π
12 ) + = 2sin 3 + 3 + = 3 3 + < 0，
所以 < 3 3，
的取值范围为 ∞, 3 3 ，
18.解：(1)连接 ， ，
由 /\ !/ ， = 5， = 2，
→ →
则 /\ !/ 5， = 2 ，
所以 与 的夹角和 与 的夹角相同，并设为 ， ∈ 0, π ，
则 = + = + 5 2
2
= 3
2 2
5 = 3
2
2 2 2 cos
5
2
，
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又 = 0，即 16 32 × 4 × 2cos
5
2 × 4 = 0，得 cos =
1
2，
又 ∈ 0, π π π，则 = 3，即∠ = 3．
(2)如图，过点 作 ⊥ 于 ，
则 = cos∠ = 2， = sin∠ = 2 3，
故以 为原点，以 ， 所在的直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，
则 ( 2,0)， 0,2 3 ， (2,0)， (3,0)， 2,2 3 ，
又 为线段 5的中点，则 2 , 3 ，
9
所以 = , 3 ， 2
= 2, 2 3 ，
9×2 2 3× 3
所以 cos = 2 93 = = ． 81
4 +3× 4+12
62
(3)结合(2)，得 = 1,2 3 ，
设 = ， ∈ [0,1]，则 3 , 2 3 ，
所以 = 5 , 2 3 ， = 3 , 2 3 2 3 ，
2
所以 = (5 ) × (3 ) + 2 3 × 2 3 2 3 = 13 2 20 + 15 = 13 10 9513 + 13，
∈ [0,1] = 10 95又 ，则当 13时，
= 13；当 = 0 时，
= 15，
min max
95
所以 的取值范围为 13 , 15 ．
19. sin sin 解：(1)由 2 2sin + sin = +
2 sin 和正弦定理，三角形面积公式可得， sin ( 2 + ) = +
2 sin ，
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因 sin > 0，故得， 2 + = 2 + 2，
2+ 2 2 1 π
由余弦定理，cos = 2 = 2 = 2，因 ∈ (0, π)，则 = 3；
(2)由余弦定理， 2 + 2 2 cos = 2，即 2 + 2 = 2，
+
整理得，( + )2 = 2 + 3 ≤ 2 + 3( 2 22 ) ，当且仅当 = 时等号成立，即( + ) ≤ 8，
于是，0 < + ≤ 2 2，即当 = = 2时， 周长的最大值为 3 2；
(3) 1 1由 = 2 = 2 sin 可得，4 = 3
= = = 3 由正弦定理，sin sin sin 3 =
2 2
，即得， =
4× 2 sin
， = sin ，
2
则 =
1
2 sin =
1
2 ×
2 2 3 3
sin × sin × 2 = sin sin(2π3 )
= 3 = 3 = 4 3π ，
sin ( 32 cos +
1
2sin )
3 1
4 sin2 +4(1 cos2 )
2sin(2 6)+1
0 < < π
由 2 π π为锐角三角形可得， ，解得， < < ，
0 < 2π3 <
π 6 2
2
π
则6 < 2
π < 5π 1 π6 6，由正弦函数的图象知，2 < sin(2 6 ) ≤ 1
4 3
，故得 3 ≤ < 2 3，
即 4 3面积的取值范围为[ 3 , 2 3)．
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