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2024-2025 学年江苏省无锡市市北级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i 为虚数单位，复数 满足 1 + i = 2，则| | =( )
A. 2 B. 1 C. 22 D.
1
2
2.用符号表示“点 在直线 上，直线 在平面 外”，正确的是( )
A. ∈ ， B. ∈ ， C. ， D. ，
3.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图，
′ ′ = 2， ′ ′ = ′ ′ = 1，则平面图形 的面积为( )
A. 1 B. 3 3 32 C. 4 D. 3
4.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. 2 B. 3 C. D. 2 3
5.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 1 = 0,0 ， 2 = 1, 2 B. 1 = ( 1,2)， 2 = (5,7)
C. 1 = 3,5 ， 2 = 6,10 D. 1 = (2, 3)， 2 =
1 3
2 , 4
6.已知平面向量 , 1是两个单位向量， 在 上的投影向量为 2 ，则 +
=( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
7.如图，在 中， 是边 的中点， 是边 上靠近点 的三等分点，
设 = , = ，则 =( )
A. 2 5 3
B. 2 + 5 3
C. 2 4 4 3 D. 2 + 3
8.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .现测得∠ = ，
∠ = ， = ，在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为( )
A. sin tan B. sin sin( + ) sin( + )tan
C. sin sin sin sin( + ) D. sin( + )sin
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 1+2i 3复数 = 1 i的虚部为2 i
B.复数 = 1 12 2 i 在复平面内对应的点位于第四象限
C.若 1 = 2 22 ，则 1 = 2
D. 1若复数 满足 ∈ ，则 ∈
10.若直线 不平行于平面 ，则下列结论错误的是( )
A. 内的直线都与 相交 B. 内的所有直线都与 异面
C.直线 与平面 有公共点 D. 内不存在与 平行的直线
11.在 中，若( + ): ( + ): ( + ) = 9: 10: 11，下列结论中正确的有( )
A. sin : sin : sin = 4: 5: 6
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的 2 倍
D.若 = 6，则 8 7外接圆的半径为 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平行四边形 的顶点 ( 1, 2)， (3, 1)， (5,6)，则顶点 的坐标为 ．
13.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为 1 和 2，侧棱长为 1，则该正四棱台的高为 ．
14.已知复数 满足 (2 + ) = 3，则| |的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
若复数 = 2 2 3 + 2 5 + 6 i ∈ R ，i 为虚数单位．
(1)当复数 为纯虚数时，求实数 的值；
(2)当 = 1 时， 是关于 的方程 2 2 + + = 0 的一个根，求实数 , 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边， cos + 3 sin = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 的面积为 3，求 、 ．
17.(本小题 15 分)
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如图，在 中，已知 = 2, = 5, ∠ = 60 , , 边上的两条中线 , 相交于点 ．
(1)求中线 的长；
(2)求∠ 的余弦值；
18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 中， 是平行四边形， 是 的中点．
(1)若 的中点为 ，求证： //平面 ；
(2)在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 ， 在 上，证明： // ．
19.(本小题 17 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，已知 tan + tan = 2 tan ．
(1)求 的值；
(2) 若 为锐角三角形，求 的取值范围；
2 2 2
(3)若 为锐角三角形，且 + + 的面积为 ，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,5)
13. 22
14.3 5
15.(1)解：由复数 = 2 2 3 + 2 5 + 6 i ∈ R ，
2
因为复数 为纯虚数，则满足 2 3 = 02 ，解得 = 1． 5 + 6 ≠ 0
(2)解：当 = 1 时，可得 = 4 + 2i，
由复数 是方程 2 2 + + = 0 的一个根，则 是方程 2 2 + + = 0 的一个根，
解方程 2 2 + + = 0 的两个根为 = 4 + 2i 和 = 4 2i，
+ = 2 = 8则 ，即
2
，解得 = 16, = 40． = 2 2 = 20
16.解：(1)根据正弦定理， cos + 3 sin = 0
变为 sin cos + 3sin sin sin sin = 0，即 sin cos + 3sin sin = sin + sin ，
也即 sin cos + 3sin sin = sin( + ) + sin ，
所以 sin cos + 3sin sin = sin cos + cos sin + sin ．
3 1 1 π 1
整理，得 3sin cos = 1，即 2 sin 2 cos = 2，所以 sin 6 = 2 , ∈ 0, π ，
所以 π6 =
π π
6，则 = 3．
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(2) = π 1由 3， = 2 sin = 3，得 = 4．
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos ，
则( + )2 = 2 + 3 = 4 + 12 = 16，所以 + = 4.则 = = 2．
17. (1) ∴ = 1解： 因为 为 的中点， 1 2 + 2 ，
2 1 1 2 2
∴ = (4
+ )2 = 4
+ 2 +
1 39
= 4 4 + 25 + 2 × 2 × 5 × cos60
= 4
39
∴ | | = 2
(2)
∵ = 1 2
，
2

2
= 1 = 1
2

2
2 4
+ = 1 214 × 25 2 × 5 × cos60 + 4 = 4，
∴ | | = 212 ．
1 2 1 1
2 1 1 1 25
= 2 2
+2 2 2×2×5×2 4+ 2 4 91

= = ．
39 21 91
2 2
18.解：(1)证明：如图所示，取 的中点 ，连接 , ，
1
因为 为 的中点，可得 // 且 = 2 ，
又因为 为平行四边形，可得 // 且 = ，
1
所以 // 且 = 2 ，
又因为 为 的中点，可得 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 //平面 ．
(2)证明：连接 与 交于点 ，且 为 的中点，
由点 为 的中点，所以 // ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 //平面 ，
又因为 平面 ，且平面 ∩平面 = ，所以 // ．
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19.(1)解：因为 tan + tan = 2 tan ，
sin sin sin
由正弦定理，可得 sin × cos + cos = 2sin × cos ，
sin cos +sin cos sin
所以 cos cos = 2 × cos ，
因为 sin cos + sin cos = sin( + ) = sin(π ) = sin ，
sin
所以cos cos = 2 ×
sin
cos ，
因为 ∈ (0, π)，可得 sin > 0，所以 2cos cos = cos 1，所以 cos = 2，
又因为 ∈ (0, π)，所以 = π3．
(2) sin sin sin 1 2解：由正弦定理，可得 = sin = 2π = =sin( ) 3cos +1sin 3 1
= ，
3 +
1 3 1
2 2 2 tan 2 tan
+1
0 < < π2 π
因为 为锐角三角形，可得 2π π，解得6 < <
π
2，0 < 3 < 2
3 1
则 tan ∈ ( 3 , + ∞)，可得tan ∈ (0, 3)

，所以 ∈ (
1
2 , 2)．
2 2 2
(3) π + 解：由余弦定理，可得 cos = ，即 2 2 23 2 + = + 2 ，
又由 = 12 sin =
3
4
2+ 2+ 2 4 8 2 4 2 3
则 = 3 + 3 × = 3+ sin sin ，
由 sin sin = sin sin( 2π 33 ) = sin ( 2 cos +
1
2 sin ) =
3
4 sin2 +
1
4 (1 cos2 ) =
1
2 sin(2
π 1
6 ) + 4，
0 < < π
因为 2 π π为锐角三角形，可得
0 < 2π
，解得 < < ，
3 <
π 6 2
2
π
可得6 < 2
π < 5π 1 sin(2 π ) + 1 ∈ ( 1 , 3 ] sin sin ∈ ( 1 36 6 ，则2 6 4 2 4 ，即 2 , 4 ],
3 2 2 2
所以sin sin ∈ (
4 , 2 3] + + 16 33 ，即 的取值范围为[4 3, 3 )．
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