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2024-2025 学年江苏省南京航空航天大学苏州附属中学高一下学期期
中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = sin ( > 0), 1 = 0, 2 = 1，且 1
π
2 的最小值为4，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知向量 = 1, 3 ， = cos , sin ，若 // ，则 tan =( )
A. 33 B. 3 C.
3
3 D. 3
3.在△ 中，若 = 2， = 120°，三角形的面积 = 3，则三角形外接圆的半径为( )
A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4
4.已知 cos + π 3 π6 = 5 ,则 cos 2 + 3 等于( )
A. 725 B.
7
25 C.
24 24
25 D. 25
5 1 1.如图，在△ 中， = 2
, 是线段 上的一点，若 = + 5
,则实数 等于( )
A. 15 B.
1
3 C.
1
4 D.
2
5
6.如图，在 中， + = ， = 7 ， = 2，则 4 =( )
A. 7 74 B. 2 C. 7 D. 14
7.已知 中， = 1， = 2， 3sin + π6 = sin
π
3 ，若∠ 的平分线交 于点 ，则 的长为
( )．
A. 4 B. 33 3 C.
2 1
3 D. 3
8.已知 > 0，曲线 = cos 与 = cos π3 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 =( )
A. 33 π B.
2
2 π C. 2π D. 3π
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 π.函数 ( ) = 2sin + 6 ( > 0)的部分图象如图所示，则( )
A. = 2
B.函数 + 5π12 是偶函数
C.函数 = ( ) 2π 7π在区间 3 , 6 上单调递增
D. ( ) π函数 的图象的对称轴方程为 = 6 + π, ∈
10.下列命题中，正确的是( )
A.在 中，若 cos = cos ，则 必是等腰直角三角形
B.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立
C.在 中，若 > ，则 sin > sin
D.在 中，若 = 60°, 2 = ，则 必是等边三角形
11.已知点 为 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若∠ = π6 , = 4, = 5，则
在 2 3上的投影向量为 5
B.若 , , 两两的夹角相等，且 = 1, = 1, = 3，则 + + = 2

C.

若 + = 0
1，且 = 2，则 为等边三角形
D.若 = + 1 2，且 + = 3，则 的面积是 面积的3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (1, )， = (2 + 3, )， ∈ R，若 ⊥ ，则 的值为
13 cos( + ) = 10.已知 ， 都是锐角且 10 ，tan( ) = 2，则 2 = ．
14 π.已知函数 = sin + 6 ( > 0)在区间
π
2 ,
π
3 上是严格增函数，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
2π
已知 = 4， = 8， 与 的夹角 = 3 ．
(1)求 2 ；
(2)若 + 2 与 3 + 共线，求 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中，∠ = 30°， 是边 上的点， = 5， = 7， = 3．
(1)求 cos 与 的面积；
(2)求边 的长．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = sin( + )，其中 > 0， > 0，| | < π π2，其图象的两条对称轴间的最短距离是2，若 ( ) ≥
π π12 对 ∈ R 恒成立，且 12 = 2．
(1)求 ( )的解析式；
(2)在锐角 中， ， ， 是 的三个内角，满足 2 = sin( ) 3cos( )，求证： = 2 ，
sin
并求sin 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2sin π3 cos
π
3 + 2 3cos
2 π3 3．
(1)求函数 ( )的对称轴方程；
(2)若函数 ( ) = (2 ) 在区间 0, 7π12 上恰有 3 个零点 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ，
( )求实数 的取值范围；
( )求 2 1 + 2 3的值．
19.(本小题 17 分)
定义：若非零向量 = ( , )，函数 ( )的解析式满足 ( ) = sin + cos ，则称 ( )为 的伴随函数，
为 ( )的伴随向量．
(1)若向量 ( ) = 2sin + π + 4sin π为函数 6 2 的伴随向量，求
；
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(2)若函数 ( )为向量 = 3, 1 的伴随函数，在 中， = 2 3， ( ) = 1，且 cos cos = 18，
求 + 的值；
(3) 若函数 ( )为向量 = (2,1)的伴随函数，关于 的方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且
仅有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 或 1
13.3π4
14.0 < ≤ 1
→ →
15. → →解：(1) ∵ = cos = 32cos 2π3 = 16，
∴ 2 = 2
2 2
= 2 4 + 4 = 16 4 × ( 16) + 4 × 64 = 336 = 4 21

(2) ∵ + 2 与 3 + 共线，

∴存在唯一实数 ，使得 + 2 = (3 + )

即( 3 ) + (2 ) = 0，
→ →
∵ 3 = 0又 与 不共线，∴ 2 = 0 ,
解得 =± 6
2 2 2 2 2 2
16.解：(1)在 + 7 +3 5 11中，由余弦定理得 cos = 2 = 2×7×3 = 14，
2
∵ 0 < < π，∴ sin = 1 cos2 = 1 1114 =
5 3
14 ，
∴ = 1 2 sin =
1
2 × 3 × 7 ×
5 3 15 3
14 = 4 ；
(2)由(1)知 sin = 5 3 114 ，∵ ∠ = 30°，∴ sin = 2，
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= 在 中，由正弦定理得sin sin ，
5 3
= sin
7×
即 14sin = 1 = 5 3．
2
17.解：(1) π由已知函数图象的两条对称轴间的最短距离是2，
1 π 2π
则2 = 2，即 = | | = π，
又 > 0，所以 = 2，
又 ( ) ≥ π12 对 ∈ R
π
恒成立，且 12 = 2，
2 × π则 12 + =
π
2 + 2 π， ∈ Z，且 = 2，
π
解得 = 3 + 2 π， ∈ Z，
又| | < π = π2，所以 3，
π
综上所述 ( ) = 2sin 2 3 ；
(2) 由(1)得 2 = 2sin
π
3 ，
又 sin( ) 3cos( ) = 2sin π3 ，
即 2sin π = 2sin π π π3 3 ，即 sin 3 = sin 3 ，
又 为锐角三角形，
所以 ， ∈ 0, π2 ，则
π
3 ∈
π π π 5π
3 , 6 ， 3 ∈ 6 ,
π
6 ，
π = π所以 3 3，
即 = 2 ，
又在 中，sin = sin( + ) = sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 4sin cos2 sin ，
sin
所以sin = 4cos
2 1，
0 < < π2
π π π 2 3
又 0 < = 2 < 2，即 ∈ 6 , 4 ，cos ∈ 2 , 2 ，
0 < = π < π2
sin
则sin = 4cos
2 1 ∈ (1,2)．
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18. π解：(1)由题意可得： ( ) = 2sin 3 cos
π 2π
3 + 3cos 2 3 = sin 2
2π
3 + 3cos 2
2π
3 = 2sin 2
2π
3 +
π
3 = 2sin 2
π
3 ，
令 2 π3 =
π
2 + π( ∈ )，解得： =
5π
12 + 2π ∈ ，
( ) 5π 所以 的对称轴方程为 = 12 + 2π ∈ ．
(2)由(1)得： ( ) = 2sin 4 π3 ，
π
令 ( ) = 2sin 4 3 = 0，可得 2sin 4
π
3 = ，
∈ 0, 7π π π当 12 时，令 = 4 3 ∈ 3 , 2π ，
( ) 0, 7π π则 在区间 12 上恰有 3 个零点等价于 = 2sin 与 = 在 3 , 2π 上恰有 3 个不同的交点，
作出 = 2sin π在 3 , 2π 上的图像如下图所示，
由图像可知：当 3 ≤ ≤ 0 时， = 2sin 与 = 恰有 3 个不同的交点，
所以实数 的取值范围为 3, 0 ；
( )设 = 2sin 与 = 的 3 个不同的交点分别为 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ，
则 2 + 3 = 3π， 3 1 = 2π，则 2 1 + 2 3 = 2 3 2π + 2 3 = 2 + 3 4π = π，
即 2 4 1
π π π
3 + 4 2 3 4 3 3 = π，整理可得：8 1 + 4
π
2 4 3 = 3，
所以 2 1 + 2
π
3 = 12
19.解：(1)因 ( ) = 2sin( + π6 ) + 4sin(
π
2 ) = 3sin + cos 4cos = 3sin 3cos ，
则 = ( 3, 3)，故| | = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3．
(2)依题意， ( ) = 3sin cos ，
由 ( ) = 3sin cos = 2sin( π6 ) = 1 可得 sin(
π
6 ) =
1
2，
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0 < < π π < π < 5π π = π π因 ，则 6 6 6，故 6 6，解得 = 3
因 + = π ，则 cos( + ) = cos cos sin sin = cos = 12，
又 cos cos = 18，代入解得 sin sin =
3
8①，
= 2 3 由正弦定理，sin 3 = sin = sin ，可得 = 4sin , = 4sin ，
2
代入①，可得 = 16sin sin = 6②，
又由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 2 + 2 = 12③，
于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 12 + 3 = 30，
解得 + = 30．
(3)依题意， ( ) = 2sin + cos ，
由 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 可得 2sin + cos = + cos + 1 2 3 cos ，
即 = 2sin + 2 3 cos 1，
当 0 ≤ ≤ π 3π2或 2 ≤ ≤ 2π时， = 2sin + 2 3cos 1 = 4sin( +
π
3 ) 1；
π 3π π
当2 < < 2时， = 2sin 2 3cos 1 = 4sin( 3 ) 1，
作出函数 = 2sin + 2 3 cos 1 在 0,2π 上的图象．
因方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数 = 与函数 = 2sin + 2 3 cos 1 的图象在 0,2π 上有四个交点．
由图知，当且仅当 1 < < 2 3 1 或 2 3 1 < < 3 时，两者有四个交点．
故实数 的取值范围为(1,2 3 1) ∪ 2 3 1,3 ．
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