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2024-2025 学年江苏省南京航空航天大学苏州附属中学高一下学期期
中考试数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = sin ( > 0), 1 = 0, 2 = 1,且 1
π
2 的最小值为4,则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知向量 = 1, 3 , = cos , sin ,若 // ,则 tan =( )
A. 33 B. 3 C.
3
3 D. 3
3.在△ 中,若 = 2, = 120°,三角形的面积 = 3,则三角形外接圆的半径为( )
A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4
4.已知 cos + π 3 π6 = 5 ,则 cos 2 + 3 等于( )
A. 725 B.
7
25 C.
24 24
25 D. 25
5 1 1.如图,在△ 中, = 2
, 是线段 上的一点,若 = + 5
,则实数 等于( )
A. 15 B.
1
3 C.
1
4 D.
2
5
6.如图,在 中, + = , = 7 , = 2,则 4 =( )
A. 7 74 B. 2 C. 7 D. 14
7.已知 中, = 1, = 2, 3sin + π6 = sin
π
3 ,若∠ 的平分线交 于点 ,则 的长为
( ).
A. 4 B. 33 3 C.
2 1
3 D. 3
8.已知 > 0,曲线 = cos 与 = cos π3 相邻的三个交点构成一个直角三角形,则 =( )
A. 33 π B.
2
2 π C. 2π D. 3π
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二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9 π.函数 ( ) = 2sin + 6 ( > 0)的部分图象如图所示,则( )
A. = 2
B.函数 + 5π12 是偶函数
C.函数 = ( ) 2π 7π在区间 3 , 6 上单调递增
D. ( ) π函数 的图象的对称轴方程为 = 6 + π, ∈
10.下列命题中,正确的是( )
A.在 中,若 cos = cos ,则 必是等腰直角三角形
B.在锐角 中,不等式 sin > cos 恒成立
C.在 中,若 > ,则 sin > sin
D.在 中,若 = 60°, 2 = ,则 必是等边三角形
11.已知点 为 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若∠ = π6 , = 4, = 5,则
在 2 3上的投影向量为 5
B.若 , , 两两的夹角相等,且 = 1, = 1, = 3,则 + + = 2
C.
若 + = 0
1,且 = 2,则 为等边三角形
D.若 = + 1 2,且 + = 3,则 的面积是 面积的3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知平面向量 = (1, ), = (2 + 3, ), ∈ R,若 ⊥ ,则 的值为
13 cos( + ) = 10.已知 , 都是锐角且 10 ,tan( ) = 2,则 2 = .
14 π.已知函数 = sin + 6 ( > 0)在区间
π
2 ,
π
3 上是严格增函数,则 的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
2π
已知 = 4, = 8, 与 的夹角 = 3 .
(1)求 2 ;
(2)若 + 2 与 3 + 共线,求 的值.
16.(本小题 15 分)
在 中,∠ = 30°, 是边 上的点, = 5, = 7, = 3.
(1)求 cos 与 的面积;
(2)求边 的长.
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = sin( + ),其中 > 0, > 0,| | < π π2,其图象的两条对称轴间的最短距离是2,若 ( ) ≥
π π12 对 ∈ R 恒成立,且 12 = 2.
(1)求 ( )的解析式;
(2)在锐角 中, , , 是 的三个内角,满足 2 = sin( ) 3cos( ),求证: = 2 ,
sin
并求sin 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2sin π3 cos
π
3 + 2 3cos
2 π3 3.
(1)求函数 ( )的对称轴方程;
(2)若函数 ( ) = (2 ) 在区间 0, 7π12 上恰有 3 个零点 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ,
( )求实数 的取值范围;
( )求 2 1 + 2 3的值.
19.(本小题 17 分)
定义:若非零向量 = ( , ),函数 ( )的解析式满足 ( ) = sin + cos ,则称 ( )为 的伴随函数,
为 ( )的伴随向量.
(1)若向量 ( ) = 2sin + π + 4sin π为函数 6 2 的伴随向量,求
;
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(2)若函数 ( )为向量 = 3, 1 的伴随函数,在 中, = 2 3, ( ) = 1,且 cos cos = 18,
求 + 的值;
(3) 若函数 ( )为向量 = (2,1)的伴随函数,关于 的方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且
仅有四个不相等的实数根,求实数 的取值范围.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 或 1
13.3π4
14.0 < ≤ 1
→ →
15. → →解:(1) ∵ = cos = 32cos 2π3 = 16,
∴ 2 = 2
2 2
= 2 4 + 4 = 16 4 × ( 16) + 4 × 64 = 336 = 4 21
(2) ∵ + 2 与 3 + 共线,
∴存在唯一实数 ,使得 + 2 = (3 + )
即( 3 ) + (2 ) = 0,
→ →
∵ 3 = 0又 与 不共线,∴ 2 = 0 ,
解得 =± 6
2 2 2 2 2 2
16.解:(1)在 + 7 +3 5 11中,由余弦定理得 cos = 2 = 2×7×3 = 14,
2
∵ 0 < < π,∴ sin = 1 cos2 = 1 1114 =
5 3
14 ,
∴ = 1 2 sin =
1
2 × 3 × 7 ×
5 3 15 3
14 = 4 ;
(2)由(1)知 sin = 5 3 114 ,∵ ∠ = 30°,∴ sin = 2,
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= 在 中,由正弦定理得sin sin ,
5 3
= sin
7×
即 14sin = 1 = 5 3.
2
17.解:(1) π由已知函数图象的两条对称轴间的最短距离是2,
1 π 2π
则2 = 2,即 = | | = π,
又 > 0,所以 = 2,
又 ( ) ≥ π12 对 ∈ R
π
恒成立,且 12 = 2,
2 × π则 12 + =
π
2 + 2 π, ∈ Z,且 = 2,
π
解得 = 3 + 2 π, ∈ Z,
又| | < π = π2,所以 3,
π
综上所述 ( ) = 2sin 2 3 ;
(2) 由(1)得 2 = 2sin
π
3 ,
又 sin( ) 3cos( ) = 2sin π3 ,
即 2sin π = 2sin π π π3 3 ,即 sin 3 = sin 3 ,
又 为锐角三角形,
所以 , ∈ 0, π2 ,则
π
3 ∈
π π π 5π
3 , 6 , 3 ∈ 6 ,
π
6 ,
π = π所以 3 3,
即 = 2 ,
又在 中,sin = sin( + ) = sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 4sin cos2 sin ,
sin
所以sin = 4cos
2 1,
0 < < π2
π π π 2 3
又 0 < = 2 < 2,即 ∈ 6 , 4 ,cos ∈ 2 , 2 ,
0 < = π < π2
sin
则sin = 4cos
2 1 ∈ (1,2).
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18. π解:(1)由题意可得: ( ) = 2sin 3 cos
π 2π
3 + 3cos 2 3 = sin 2
2π
3 + 3cos 2
2π
3 = 2sin 2
2π
3 +
π
3 = 2sin 2
π
3 ,
令 2 π3 =
π
2 + π( ∈ ),解得: =
5π
12 + 2π ∈ ,
( ) 5π 所以 的对称轴方程为 = 12 + 2π ∈ .
(2)由(1)得: ( ) = 2sin 4 π3 ,
π
令 ( ) = 2sin 4 3 = 0,可得 2sin 4
π
3 = ,
∈ 0, 7π π π当 12 时,令 = 4 3 ∈ 3 , 2π ,
( ) 0, 7π π则 在区间 12 上恰有 3 个零点等价于 = 2sin 与 = 在 3 , 2π 上恰有 3 个不同的交点,
作出 = 2sin π在 3 , 2π 上的图像如下图所示,
由图像可知:当 3 ≤ ≤ 0 时, = 2sin 与 = 恰有 3 个不同的交点,
所以实数 的取值范围为 3, 0 ;
( )设 = 2sin 与 = 的 3 个不同的交点分别为 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ,
则 2 + 3 = 3π, 3 1 = 2π,则 2 1 + 2 3 = 2 3 2π + 2 3 = 2 + 3 4π = π,
即 2 4 1
π π π
3 + 4 2 3 4 3 3 = π,整理可得:8 1 + 4
π
2 4 3 = 3,
所以 2 1 + 2
π
3 = 12
19.解:(1)因 ( ) = 2sin( + π6 ) + 4sin(
π
2 ) = 3sin + cos 4cos = 3sin 3cos ,
则 = ( 3, 3),故| | = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3.
(2)依题意, ( ) = 3sin cos ,
由 ( ) = 3sin cos = 2sin( π6 ) = 1 可得 sin(
π
6 ) =
1
2,
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0 < < π π < π < 5π π = π π因 ,则 6 6 6,故 6 6,解得 = 3
因 + = π ,则 cos( + ) = cos cos sin sin = cos = 12,
又 cos cos = 18,代入解得 sin sin =
3
8①,
= 2 3 由正弦定理,sin 3 = sin = sin ,可得 = 4sin , = 4sin ,
2
代入①,可得 = 16sin sin = 6②,
又由余弦定理, 2 = 2 + 2 2 cos ,
可得 2 + 2 = 12③,
于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 12 + 3 = 30,
解得 + = 30.
(3)依题意, ( ) = 2sin + cos ,
由 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 可得 2sin + cos = + cos + 1 2 3 cos ,
即 = 2sin + 2 3 cos 1,
当 0 ≤ ≤ π 3π2或 2 ≤ ≤ 2π时, = 2sin + 2 3cos 1 = 4sin( +
π
3 ) 1;
π 3π π
当2 < < 2时, = 2sin 2 3cos 1 = 4sin( 3 ) 1,
作出函数 = 2sin + 2 3 cos 1 在 0,2π 上的图象.
因方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数 = 与函数 = 2sin + 2 3 cos 1 的图象在 0,2π 上有四个交点.
由图知,当且仅当 1 < < 2 3 1 或 2 3 1 < < 3 时,两者有四个交点.
故实数 的取值范围为(1,2 3 1) ∪ 2 3 1,3 .
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