资源简介

2024-2025 学年福建省厦门市厦门大学附属科技中学高一下学期期中
阶段性检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 2 1 + ( 1)i 是纯虚数，则实数 等于( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. ±1
2.如图所示，一个水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图是边长为 2 的正方形 ′ ′ ′ ′，则原
四边形 的面积是( )
A. 16 2 B. 8 2 C. 16 D. 8
3.已知向量 = (1,2)， = ( , 1)， = ( , 1)，若( + )// ，则 + =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
4.已知平面 ， 和直线 ， ，若 ， ，则“ // ， // ”是“ // ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在 中，内角 , , 所对各边分别为 , , ，且 2 = 2 + 2 ，则角 =( )
A. 60° B. 120° C. 30° D. 150°
6.在长方体 1 1 1 1中， 1 和 1与底面所成的角分别为 45°和 30°，则异面直线 1 与 1 1所
成角的余弦值为( )
A. 3 2 3 54 B. 4 C. 4 D. 4
7.已知 ， ， 是球 的球面上的三个点，且 = = = 2 3，球心 到平面 的距离为 1，则球
的表面积为( )
A. 16π B. 20π C. 24π D. 28π
8.我们定义：“ × ”为向量 与向量 的“外积”，若向量 与向量 的夹角为 ，它的长度规定 × =
sin ，现已知：在 中，若 + = 1, + = 2，则 × 的最大值为( )
A. 13 B.
2 1 2
5 C. 2 D. 3
第 1页，共 11页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 1+i若复数 = 301 i，则 = 1
B. | |2 =
C.若| + 1| = | 1|，则 为纯虚数
D.若 1 ≤ | | ≤ 2，则在复平面中复数 所对应的点的集合构成的图形面积为π
10. 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且(2 )cos = cos ， = 2，若边 的中线 = 3，则
下列结论正确的有( )
A. = π3 B. =
π
6
C. = 2 D. 的面积为 3
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，点 在线段 1 1上运动，则( )
A.对任意的点 ，有 1 ⊥
B.存在直线 ，使 /\ !/ 1
C.过点 可以作 4 条直线与 1 ， 1 均成 60°角
D. 3的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 2 4i.复数 1+i，则 的虚部为 ．
13.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底
边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为 3 3，则该物件的高为 ．
第 2页，共 11页
14.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，内角 的平分线交 于点 ， 为 的外心，若 =
2
2sin ，则 + 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在平行四边形 中， = 3, = 2, ∠ = 60°, = ，2 = , 与 相交于点 ，设
= , = ．
(1)用 , 分别表示 , , ；
(2)求∠ 的余弦值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，∠ = ∠ = 90 ， ⊥平面 ， 是 的
中点， = = = 1, = 2．
(1)证明： //平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
, , , , sin2 cos sin sin2 在 中，内角 的对边分别是 ，且 = 2 ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 6， 6 21边上的高为 7 ，求 的值．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，其中 = 1，设向量 = cos , sin ， = cos , sin ．
(1)若 2 + 1 = 0，
( )求 ；
( )设点 为 所在平面内一点，且满足 + = + = 0，求 ．
第 3页，共 11页
(2)若 + = cos + cos ，求 内切圆面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 ⊥ ，且 = 4 = 4， = 2， = 13，
点 为 中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)试作出二面角 ，并求二面角 的正切值；
(3)点 为对角线 上的点，且 ⊥ ，垂足为 ，求 与平面 所成的最大角的正弦值. (注：本题建
系不得分)
第 4页，共 11页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
1
13. 2/22
14. 5
15.解：(1)在平行四边形 中， = ， =
又 = ，所以 = 12
= 1 2

所以 = + = + 1 2 ，
又 2 = 2 2，所以 = = 3 3 =
2
3

所以 = + = 23 ，
过 作 /\ !/ 交 , ∴ = 1 = 1 = 1于 2 3 3 ，
∴ = 34
3
，所以 = 4 =
3 + = 3 + 1 4 4 2
∴
3 3
= 4 + 8
第 5页，共 11页
(2)解法 1：∵ = + 1 2 + = 2 2 + 1
2
2 3 3 2 +
2
3
= 2，
2

2
= + 1 2 1 2 = + 4
+ = 13，
且在 中， = = 2, ∠ = 60°
∴△ 为等边三角形，∴ = 2，

∴ cos∠ = = 2 13
2 13
= 13 ．
解法 2：如图所示建系
则 (0,0), (3,0), 72 ,
3
2 , 2, 3 ，
∴ = 7 , 3 2 2 , = 1, 3 ，
∴ = 72+
3
2 = 2，
2
= 7 + 3
2

2 2 = 13,
= ( 1)2 + ( 3)2 = 2，
2 13
∴ cos∠ = = =
2 13 13
16.解：(1)取 的中点 ，连接 , ，
因为∠ = ∠ = 90°，所以 // ， = 2, = 1，
因为 , 1分别是 , 中点，得出 // // ， = 2 = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)∠ = 90 ， = 2 + 2 = 2，
第 6页，共 11页
⊥平面 ， , 平面 ，则 ⊥ ， ⊥ ，
=
1
2 | | × | | =
1
2 × 2 × 1 =
2 1
2 ， = 2 × | | × | | =
1
2，
1 1
设点 到平面 的距离为 ，由 = ，得3 × = 3 × | |，
1 2 1 1 2
即3 × 2 × = 3 × 2 × 1，得 = 2 ．
所以点 2到平面 的距离为 2 ．
17.解：(1)解法一：
sin2 cos sin sin2
因为 = 2 ，
2sin cos cos sin 2sin cos
所以由正弦定理及二倍角公式可得 sin = 2sin ，
所以 2sin cos cos sin = sin cos ，
所以 2sin cos = sin cos + cos sin = sin( + )，
所以 2sin cos = sin π ，则 2sin cos = sin ，
因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，
所以 cos = 1 π2，所以 = 3．
解法二：由解法一得到 2sin cos = sin cos + cos sin ，
得 2 cos = cos + cos = ，即 cos = 12，
因为 ∈ 0, π π，所以 = 3．
(2) 1 sin = 1 × 6 21解法一：由三角形面积公式得2 2 7 ，
1 π 1 6 21 7
则2 × 6 × sin 3 = 2 × 7 ，所以 = 2 ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 7 1，即 2 2 24 = 6 + 2 × 6 × 2，
得 2 + 8 48 = 0，解得 = 4( = 12 舍去)，
解法二：如图，过 作 ⊥ 于点 ，则 = 6 217 ，
Rt cos∠ = 在 中， =
21
7 ，sin∠ = 1 cos
2∠ = 2 77 ，
第 7页，共 11页
所以 cos∠ = cos π3 ∠ = cos
π
3 cos∠ + sin
π
3 sin∠
= 1 × 212 7 +
3
2 ×
2 7 3 21
7 = 14 ，
在 Rt 3 21 6 21 14中，cos∠ = = 14 ，得 = 7 × 3 21 = 4，即 = 4．
18.解：(1)( )因为 + + = π，
所以 2 + 1 = 2 cos cos sin sin + 1 = 2cos( + ) + 1 = 2cos + 1 = 0，
解得 cos = 12，
π
又因为 ∈ 0, π ，所以 = 3．
( )由 + = + = 0，
得 + = + = 0，
解得
2
=
2 2 2
， = ，即 = = ，可知 为 的外心．
由正弦定理得 2 = 1 2 3 3sin = sinπ =3 3
，所以 = 3 ．
(2)由 + = cos + cos 及正弦定理得 sin + sin = sin cos + cos ，
即 sin( + ) + sin( + ) = sin cos + cos ，
即 sin cos + cos sin + sin cos + cos sin = cos sin + cos sin ，
化简得 cos sin + sin = 0，
因为 、 、 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，sin ≠ 0，则 cos = 0，
π
所以 = ， 2 + 2 22 = = 1．
设内切圆半径为 ，如图，设 的内切圆分别切边 、 、 于点 、 、 ，
由切线长定理可得 = ， = ， = ，
由圆的切线的性质可知 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ， = ，
故四边形 为正方形，所以， = = ，
第 8页，共 11页
所以， + = ( + ) + ( + ) ( + ) = + = 2 ，
1 1
则 = 2 ( + ) = 2 ( + 1)
又 + = ( + )2 = 2 + 2 + 2 ≤ 2 2 + 2 = 2，
=
当且仅当 2 + 2 = 1 2时，即当 = = 时等号成立，
> 0, > 0 2
0 < ≤ 2 1
2
所以 2 ，
2 1
的内切圆面积 = π 2 ≤ π 2 =
3 2 2 π
4 ，
3 2 2 π即 的内切圆面积的最大值是 4 ．
19.解：(1) ∵ ⊥ ，∴ = 2 3，
则 2 = 2 + 2 = 13，
∴ ⊥ ；
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)侧棱 ⊥ ，点 为 中点，
∴ = = 2，
又∵ = 2，
∴△ 为正三角形，取 中点 ，则 ⊥ ， = 1，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
过点 作 ⊥ 交 延长线于点 ，连接 ， ．
平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，∴ ⊥ ，
根据定义，∠ 即为二面角 的平面角．
∵ | | = | |sin∠ = | |sin∠ = 55 ，
∴ tan∠ = | || | = 15．
第 9页，共 11页
(3)(法一)作 ⊥平面 ，
则 // ， 为 在平面 内的射影，所以点 ， ， 共线，
再在平面 作 ⊥ 交 于点 ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
设线 交线 于点 ，则 ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
∴ ≤ ，∴ ∠ ≤ ∠ = 90° ∠ ，
又因为 cos∠ = 2 10 = 5 = 5 ，
10所以 与平面 所成的最大角的正弦值为 5 ，
当点 为线 与 的交点时取到最大角；
(法二)过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ， ．
设 = ，∠ = ，∠ = ，
则 = cos ， = sin ， = cos sin
sin∠ = cos sin sin 从而 sin = tan ．
∵ cos = cos cos∠ ，
∴ ≤ ，tan ≤ tan ，
sin sin | | 10
于是 sin∠ = tan ≤ tan = cos = | | = 5 ，
当且仅当 = ，即点 为 与 交点时，等号成立．
第 10页，共 11页
第 11页，共 11页

展开更多......

收起↑