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2024-2025 学年广东省惠州市博罗县高一下学期阶段性教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知复数 满足1 i = 2 i，则 =( )
A. 1 2i B. 1+ 2i C. 1 3i D. 1 + 3i
2.已知点 (3, 2)， (2, 1)，且 = 5 ，则点 的横坐标与纵坐标之和为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
3.在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2 sin = ，则 =( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
4.如图，水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图为直角梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 2, ′ ′ =
′ ′ = 1，则原四边形 的面积为( )
A. 3 2 B. 3 C. 3 2 D. 32 2
5.如图，为了测量 ， 两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在 点、距离 点 600
米处的 点、距离 点 200 米处的 点进行观测．甲同学在 点测得∠ = 45°，乙同学在 点测得∠ =
60°，丙同学在 点测得∠ = 45°，则 ， 两点间的距离为( )
A. 400 7米 B. 400 6米 C. 200 7米 D. 200 6米
6.已知物体受平面内的三个力 1, 2, 3作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若 1 = 1， 2 = (2,0)，
π
且 1, 2的夹角为 ，则 3 3 =( )
A. 7 B. 5 C. 2 D. 3
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7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线 1 = 4，若母线 1放置在水平地面上时，水面恰好过
的中点，那么当底面圆 水平放置时，水面高为( )
A. 2 3 4 3 2 3 4 33 π B. 3 π C. 3 + π D. 3 + π
8.已知对任意平面向量 = ( , )，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 = cos
sin , sin + cos ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点 (2,1)，点 (2 + , 1
)， = 2 2， > 0 π，点 绕点 沿逆时针方向旋转3得到点 ，则下列结论错误的是( )
A. = 2 2 B. 的坐标为 3 + 3, 3
C. 的坐标为(4, 1) D. 在 方向上的投影向量为( 1, 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 1+ ( + 1)i， ∈ ，则下列结论正确的是( )
A.若 为纯虚数，则 =± 1
B.若 在复平面内对应的点位于第二象限，则 ∈ ( 1,1)
C.若 = 0，则 = 1 i
D.若 = 0，则| | = 1
10.已知圆锥的底面半径为 1，高为 3， 为顶点， ， 为底面圆周上两个动点，则( )
A.圆锥的体积为 3
3 π
B.从点 出发绕圆锥侧面一周回到点 的无弹性细绳的最短长度为 3 3
C. π圆锥的侧面展开图的圆心角大小为2
D.圆锥截面 的面积的最大值为 3
11.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 2 + 2 > 2，则 为锐角；
B.若 sin > sin ，则 > ；
C. 若 2 +
2 2 = 2 +
2 2 ，则 为等腰三角形；
D.若 不是直角三角形，则 tan + tan + tan = tan tan tan ．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.使不等式 2 < 2 4 + 3 i + 2(i 为虚数单位)成立的实数 = ．
13 .在直三棱柱 1 1 1中， = = 2, ∠ = 2 .若该直三棱柱的外接球表面积为 16 ，则此三棱
柱的高为 ．
14.已知非零向量 与 的夹角为锐角， 为 在 方向上的投影向量，且| | = | | = 2，则 + + 与 的夹角
的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2cos cos + cos = ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 的面积为 3，求 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， 1 1， 分别为 ， 上的两点 = 2 ，
= 3 ，
， 相交于点 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ⊥ ．
17.(本小题 15 分)
图①是一块正四棱台 1 1 1 1的铁料，上、下底面的边长分别为 20cm 和 40cm， 1， 分别是上、
下底面的中心，棱台高 30cm．
(1)求正四棱台 1 1 1 1的表面积；
(2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台(如图②)，求削去部分与圆台的体积之比．
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18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且sin2 = sin2 + sin2 sin sin ．
(1)求角 ；
(2)若∠ 的角平分线交 于点 ，且 = 3， = 4，求 边的长度；
(3)若 为锐角三角形， = 2 3，求 周长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
对于给定的正整数 ，记集合 = { | = ( 1, 2, 3, , ), j ∈ , = 1,2,3, , }，其中元素 称为一个 维
向量，特别地，0 = (0,0, , 0)称为零向量.设 ∈ R， = ( 1, 2, , ) ∈ ， = ( 1, 2, , ) ∈ ，定义
加法和数乘： = ( 1, 2, , )， + = ( 1 + 1, 2 + 2, , + ).对一组向量 1， 2，…， ( ∈
+, ≥ 2)，若存在一组不全为零的实数 1， 2，…， ，使得 1 1 + 2 2 + + = 0，则称这组向量
线性相关，否则称为线性无关．
(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① = (1,1)， = (1,2)；
② = (1,1,1)， = (2,2,2)， = (5,1,4)；
(2)已知 ， ， 线性无关，判断 + ， + ， + 是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知 ( ≥ 2)个向量 1， 2，…， 线性相关，但其中任意 1 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 1 1 + 2 2 + + = 0( ∈ , = 1,2,3, , )，则这些系数 1， 2，…， 或者全为
零，或者全不为零；
②如果两个等式 1 1 + 2 2 + + = 0， 1 1+ 2 2 + + = 0( ∈ , ∈ , = 1,2,3, , )同
时成立，其中 1 ≠ 0

，则 1 =
2
1
= = ．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.2 2
14.π6
15.解：(1)由正弦定理及 2cos cos + cos = ．
得 2cos sin cos + sin cos = sin ，
即 2cos sin( + ) = sin ，
即 2cos sin = sin ，
因为 0 < < π，所以 sin ≠ 0，
所以 cos = 1 π2，所以 = 3．
(2) 1由题意得 的面积 = 2 sin = 3，所以 = 4①.
又 2 = 2 + 2 2 cos ，且 = 2，所以 2 + 2 = 8②.
由①②得 = = 2．
16.解：(1)因为 = 1 3 ，
所以 = + = + 1 = + 1 = 2 1 3 3 3 + 3
，
2
所以
2
= 2 + 1
2
= 4 + 4 1
2
3 3 9 9 + 9
= 49 × 4 +
4
9 × 2 × 4 ×
1
2 +
1 16
9 × 16 = 3，
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所以 = 4 33 ；
(2) 1因为 = 2
，
1
所以 = + = + 2 ，
2 2所以 = 2 13 + 3
+ 1 2 1 2 12 = 3 + 6 = 3 × 4+ 6 × 16 = 0，
所以 ⊥ ，即 ⊥ ，所以 ⊥ ．
17.解：(1)如图，正四棱台 1 1 1 1的每个侧面皆为全等的等腰梯形，
分别取 1 1, 的中点为 , ，连接 1 , , ，
过点 作 ⊥ 于 ，
则 1 = = 30cm, 1 = 10cm, = 20cm, = 10cm，
故 = 2 + 2 = 302 + 102 = 10 10 cm ，
1
所以正四棱台 1 1 1 1的表面积为202 + 402 + 4 × 2 × (20 + 40) × 10 10 = 2000 +
1200 10 cm2 ；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台 1 的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为 10 ，下底面半径为 20 ，高为 30 ，
1
则圆台 1 的体积为 1 = 3π 10
2 + 202 + 10 × 20 × 30 = 7000π cm3 ，
而正四棱台的体积为 = 1 202 + 402 + 202 × 402 × 30 = 28000 cm33 ，
所以消去部分的体积为 2 = 28000 7000π cm3 ，
28000 7000π = 4 π则削去部分与圆台的体积之比为 7000π π ．
18.解：(1)因为sin2 = sin2 + sin2 sin sin ，
由正弦定理可知 2 = 2 + 2 ，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
又由余弦定理可知 cos = 2 = 2，
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又 ∈ 0, π π，则 = 3；
(2)由已知∠ 的角平分线交 于点 ，
则∠ = ∠ = π6，
又在 中， = + ，
1
即2 sin =
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ ，
1 × 3 × 4 × 3 = 1 × 4 × × 1+ 1 1即2 2 2 2 2 × 3 × × 2，
解得 = 12 37 ；
(3) 由正弦定理可知sin = sin = sin = 4，
则 = 4sin ， = 4sin ，
又在 中，sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 12 sin +
3
2 cos ，
则周长 + + = 4sin + 2 3 + 4sin = 6sin + 2 3cos + 2 3 = 4 3sin + 6 + 2 3，
因为 为锐角三角形，
0 < < π2 π π则 π，即6 < < ，0 < π < 22
π < + π < 2π则3 6 3 ，
所以 sin + π 36 ∈ 2 , 1 ,
故周长 + + = 4 3sin + 6 + 2 3 ∈ 6 + 2 3, 6 3 ．
19.解：(1)对于①，设 1 + 2 = 0，

则可得 1
+ 2 = 0 1 = 0
1 + 2
，所以 ， 线性无关；
2 = 0 2 = 0
对于②设 1 + 2 + 3 = 0，
1 + 2 2 + 5 3 = 0
则可得 1 + 2 2 + 3 = 0，所以 1 + 2 2 = 0， 3 = 0，
1 + 2 2 + 4 3 = 0
可取 1 = 2, 2 = 1 不全为零，故 ， 线线性相关；
(2)设 1( + ) + 2( + ) + 3( + ) = 0，
则( 1 + 3) + ( 1 + 2) + ( 2 + 3) = 0，
因为向量 ， ， 线性无关，
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所以 1 + 3 = 0， 1 + 2 = 0， 2 + 3 = 0，
解得 1 = 2 = 3 = 0，
所以向量 + ， + ， + 线性无关；
(3)① 1 1 + 2 2 + + = 0，
如果某个 = 0， = 1，2，……， ，
则 1 1 + 2 2 + + 1 1+ +1 +1 + + = 0，
因为任意 1 个都线性无关，
所以 1， 2，……， 1， +1，……， 都等于 0，
所以这些系数 1， 2，……， 或者全为零，或者全不为零，
②因为 1 ≠ 0，所以 1， 2，……， 全不为零，
所以由 1 1 + 2 2 + + = 0，
可得 1 =
2
2

1
，
1
代入 2 1 1+ 2 2 + + = 0，可得 1( 2 ) + 2 2 + + = 0，1 1
所以( 2 1 + 2) 2 + + (

1 + ) =
0，
1 1

所以 2 1 + 2 = 0，……

， 1 + = 0，1 1

所以 1 = 2 1
= =
2
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