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2024-2025学年北京市怀柔区第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某选修课有门体育课程和门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.若函数为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
5.从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上是减函数 B. 在上是增函数
C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值
7.哪个区间是函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
8.已知事件满足，则( )
A. 若与相互独立，则
B. 若与互斥，
C. 若，则与相互对立
D. 若，则
9.现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩记事件：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件：甲和乙选择的景区不同，则条件概率( )
A. B. C. D.
10.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知曲线在处的切线方程是，则为 ，为 ．
12.从这人中选出人，其中不相邻，则不同的安排方法有 种．
13.在数字通信中，信号是由数字和组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知当发送信号时，被接收为和的概率分别为和；当发送信号时，被接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的，则接收的信号为的概率为 ．
14.设随机变量的分布列如下表，则 ．
15.如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为 ________时，这个纸盒的容积最大．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加数学竞赛．
如果选出的人中男生、女生各人，那么有多少种选法？
如果男生中的小王和女生中的小红至少有人入选，那么有多少种选法？
如果被选出的人是甲、乙、丙、丁，将这人派往个考点，每个考点至少人，那么有多少种派送方式？
17.本小题分
在展开式中．
求含的项，并写出该项的二项式系数；
求出所有有理项．
18.本小题分
高中的数学试卷满分是，记成绩在分属于优秀．杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了名学生的数学成绩均在区间内作为样本，并整理成如下频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；
从样本中数学成绩在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人，记这人中来自组的人数为，求的分布列与数学期望．
19.本小题分
某学校有，两个学生餐厅在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：
早餐 午餐 晚餐
餐厅 人 人 人
餐厅 人 人 人
不在学校用餐 人 人 人
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定．
若该学校共有名学生，估计每日在餐厅用早餐的人数；
从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望；
一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了人，发现在餐厅用晚餐的有人根据抽查结果，能否认为在餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若对任意的，都有成立，求整数的最大值．
21.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线为，求的值；
若为上的单调函数，求的取值范围；
若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：从名男生中选名，名女生中选人，属于组合问题，，故有种选法
若小王和小红均未入选，则有种选法，
故男生中的小王和女生中的小红至少有人入选，则有种选法
若个考点派送人数均为人，则有种派送方式，
若个考点派送人，另个考点派送人，则有种派送方式，
故一共有种派送方式．
17.在展开式中，
其通项公式为，，，，，
令，解得，
故含的项为，
该项的二项式系数为；
由知，当，，，时，对应的项为有理项，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，
18.由频率分布直方图可知，
解得：，
由样本估计总体得，本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为；
由题图可知，和这两组频率之比为：，
按分层抽样法，抽取的名学生中，数学成绩在的学生有名，在的学生有名，
从这名学生中随机选出人，则的所有可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：
则
19.解：样本中学生在餐厅用早餐的频率为，
据此估计该学校名学生每日在餐厅用早餐的人数为：．
从该学校用午餐的学生中随机抽取人，
由样本的频率估计该学生在餐厅用午餐的概率．
由题意可知：，则的可能取值为，则有：
；；
；．
所以的分布列为
的期望为．
结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分．
设事件为“随机抽查人，有人在餐厅用晚餐”．
假设在餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，
由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查人，此人在餐厅用晚餐的概率为，
由上个星期的样本数据估计．
示例答案：可以认为发生了变化理由如下：
事件是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，
如果发生了，可以认为在餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化；
示例答案：无法确定有没有变化理由如下：
比较小，一般不容易发生，
随机事件在一次随机试验中是否发生是随机的，事件也是有可能发生的，
所以无法确定有没有变化．
20.解：函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ．
函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
， ，
令 ，求导得 ，
由知， 在 上单调递增， ， ，
因此，当时，存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，则 ，
所以整数 的最大值是．
21.，故，故；
由题可知，，故，解得．
若为上的单调增函数，则在上恒成立，即，
也即恒成立，又，故；
若为上的单调减函数，则在上恒成立，即，
也即恒成立，又，故；
综上所述，若为上的单调函数，则的范围为．
，其定义域为，又，故其为奇函数；
又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可．
又，令，则，
当时，由可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立，
故在单调递减，又，，故存在，使得，
则当，，单调递增；当，，单调递减；
故当，，又，
故存在，使得；
综上所述：当时，在存在唯一零点，
也即当时，恰好有三个零点，
于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点．

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