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2024学年第二学期高一阶段性练习
数学试卷 2025年5月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．
1．复数的虚部是 ．
2．若，则 .
3．设复数满足（为虚数单位），则 .
4．已知，，若，则点的坐标为 .
5．已知函数是偶函数，则的最小值为 .
6．已知，，则在方向上的投影向量为 ．（用坐标表示）
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
8．已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则 .
9. 若复数满足，则 .
10．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 .
11．直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则 ．
12．已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．，，，且三点共线，则=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
14．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分6分，第1小题满分3分，第2小题满分3分）
已知向量，，
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
设复数，．
(1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围；
(2)若为纯虚数，求．
19．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，．
(1)求的面积．
(2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？
20．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.
(1)求参数的值；
(2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围.
21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
已知，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值；
(2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围.
2024学年第二学期高一阶段性练习
数学试卷 2025年5月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．
1．复数的虚部是 ．-1
2．若，则 .
3．设复数满足（为虚数单位），则 .
4．已知，，若，则点的坐标为 .
5．已知函数是偶函数，则的最小值为 .
6．已知，，则在方向上的投影向量为 ．（用坐标表示）
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
8．已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则 . 2
9. 若复数满足，则 .
10．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 .
11．直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则 ．
12．已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．，，，且三点共线，则=（ ）A
A．8 B．4 C．2 D．1
14．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）C
A． B．
C． D．
15．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）C
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）A
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分6分，第1小题满分3分，第2小题满分3分）
已知向量，，
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值．
（1）因为，所以，所以，
又因为，，所以， 2分
所以； 1分
（2）因为，
所以，
所以与的夹角的余弦值为． 3分
18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
设复数，．
(1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围；
(2)若为纯虚数，求．
（1）由题意可知，因为，
所以，
所以， 2分
又因为在复平面上对应的点在第一象限，
所以，
解得. 2分
所以实数的取值范围为.
（2）因为为纯虚数，
所以，即， 2分
所以，
故. 2分
19．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，．
(1)求的面积．
(2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？
（1）因为，，，
由余弦定理得，
即， 2分
故，
解得，负值舍去， 1分
故 1分
（2）在中，由正弦定理得，
又，故，
因为，所以， 2分
，
故汽车所需时间为h，
因为，由余弦定理得
，
故，
故， 2分
快递小哥出发25分钟，骑行路程为，
剩余路程为，到达C处所需时间为，
其中，
故，所以汽车先到达C处. 2分
20．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.
(1)求参数的值；
(2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围.
（1）由题意可得在处取得最小值，则，，
所以，， 2分
，则. 2分
（2），，，
是上动点，
设，，
，
， 2分
易知，在或处有最小值，
在或处有最大值，
当或时，有最小值， 2分
即当在或时，有最小值，此时或，
若，则，，，
又，解得，
若，则，，，
又，解得，
综上可得. 2分
21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
已知，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值；
(2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围.
（1）由题意，， 2分
因为对任意的恒成立，且，
所以函数的最小正周期为，
所以，得. 2分
（2）当时，，
当时，，所以，
所以函数的值域为， 2分
因为对任意，存在，使得成立，即成立，
设在上的值域为，
当时，，所以，
因为，所以的值域， 2分
根据题意，，
则有，解得，又因为，所以.
所以实数的取值范围为. 2分

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