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2024学年度建平中学高一第二学期5月阶段测试（B卷）
数学 试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。
2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．向量在向量方向上的数量投影为 ．
2．若在中，，则 ．
3．已知a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边，若，则 ．
4．若，则的值为 ．
5．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为 ．
6．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米.为上的一点，则当角达到最大时，的长度为 米
7．已知为坐标原点，向量，，，若A,B,C三点共线，且，请写出所有符合条件的有序实数对(m , n)： ．
8．平面向量满足，且，则 ．
9．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 ．

10．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为 ．
11．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ．
12．设，函数.若在上单调递增，且函数与的图像有三个交点，则的取值范围是 ．
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13．已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（ ）
A． B． C． D．
14．定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）。已知中，，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
15．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ）
A．设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ）
A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称
B．关于直线成轴对称，且以2π为周期
C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心
D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
已知，，且和的夹角为，设，.
（1）求：y的值；
（2）若，求：实数的值．
18．（本题共14分，每小问均为7分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30min．
（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
19．（本题共14分，（1）小问3分，（2）小问5分，（3）小问6分）
已知
（1）某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
0
0 0 0
根据表格，直接写出函数的表达式
（2）若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合；
（3）对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得．
20．（本题共18分，每小问均为9分）
在中，已知边上的中线长为．
（1）求证：；
（2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角．
21．（本题共18分，每小问均为6分）
已知向量，，函数，.
（1）若，求的值；
（2）若时，的最小值为，求实数的值；
（3）设为正整数，函数在区间上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的的值及相应的取值范围．
参考答案：
填空题（1~12题）
1． 4
2． -6
3． 3:1
4．
5．
6． 4
7．(6,2)，(3,)
8．
9．
10．
11．
12．
选择题（13~16题）
13． D
14． A
15． D
16． C
解答题（17~21题）
17． （1）或（7分） （2）（7分）
18． （1），.（7分） （2）（7分）
19． （1） （3分）
（2）或（5分）
（3）求出：x0其中k，由区间长度＞1可知每个k均有不同的x0满足条件（6分）
20． （1）用余弦定理代入证明即可（9分）
（2），为钝角（9分）
21． （1）（6分）
（2）（6分）
（3）（1分）时，（2分）;时（1分），（2分）

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