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小学奥数 四年级
第17讲 还原问题
数学上有些问题，如果顺着题目的叙述去求解会很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫作还原法，用还原法解决的问题称为还原问题。解答还原问题时，要根据题意从所给的结果出发，抓住逆运算的数量关系，做相反运算。
一、知识要点
二、精讲精练
【例1】一位老人说：“把我今年的年龄加上14以后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100。”这位老人今年多少岁？
【分析与解答】我觉得这道题可以倒过来想，从最后一步“用25乘，恰巧是100”开始，一步一步往前推算。对，这就是还原问题，我们可以用倒推法解决。
100是乘25后得到的，没有用25乘之前应是100÷25=4；“减去26”后是4，没有减去26之前是4+26=30。我知道下面该怎样算了，“除以3”后是30，没有除以3之前应是30×3=90；把老人的年龄加上14后是90，所以，这位老人今年的年龄应是90-14=76岁。
【我来解答】：（100÷25+26)×3-14=30×3-14=76(岁) 答：这位老人今年76岁。
【小结与提示】
在用还原法解题时要记住：加就要减，减就要加，乘就要除，除就要乘。
【练习1】 P131
某数加上8，乘8，减去8，再除以8，结果还是8。这个数是多少？
实践与应用
【例2】在做一道加法算式时，小芳把一个加数个位上的5看成了9，十位上的8看成了3，结果所得的和为123，正确的和是多少？
【分析与解答】
把个位上的5看成了9，相当于给正确的和多算了9-5=4，把十位上的8看成了3，相当于给正确的和少算了80-30=50。对！这样就可以把这道题理解为：一个数加上4，减去50，得123，求这个数是几。采用倒推法，也就是123加上50，减去4。换个思考角度，要求正确的和，就要知道两个正确的加数。看错的加数是39,因此得到错误的和是 123,根据逆运算可得到另一个没看错的加数是123-39=84，题中已知一个正确的加数是85，所以正确的和是85+84=169。
我来解答： 方法一：9-5=4 80-30=50 123+50-4=169
方法二：123-39+85=84+85=169
答：正确的和是169。
小结与提示
本题用顺序思维和逆向思维都能较快求出答案，但在某些特定情况下，需要灵活运用
【练习2】 P132
马小虎在做一道整数减法时，把减数个位上的1看成了7，把减数十位上的7看成了1，结果得出的差是111。正确的答案应该是多少？
实践与应用
【例3】 工人修一条公路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下的半还少1千米、最后还剩20千米没有修完。这条公路全长多少千米？
【分析与解答】
根据题意画出线段图，从图中可以看出：剩下的20千米去掉1千米，得到的20-1=19千米正好等于第一天修路后余下的一半。2千米 1千米 20千米全长的一半 余下的一半，你真聪明，一下子就找到了解决问题的突破口。从“第二天修了余下的一半还少1千米，最后还剩20千米”向前推算，就能算出第一天修路后余下了19×2=38千米。从图中还可以知道，第一天修路后余下的38千米加上2千米，得到的38+2=40千米正好是这条公路全长的一半，所以公路全长40×2=80千米。
我来解答:(20-1)×2=38(千米) (38+2)×2=80(千米) 答：这条公路全长80千米。
小结与提示
解决这类问题可以借助线段图，从关键处人手，一步一步往前推。
【练习3】 P133
仓库里有一批大来，第一天售出的质量比总数的一半少12吨，第二天售出的质量比剩下的一半多12吨，结果还剩19吨。这个仓库原有大米多少吨？
实践与应用
【例4】甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，那么三个组拥有的图书本数恰好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？
【分析与解答】
甲、乙、丙三个组之间借来借去，条件真复杂。但根据题意画线段图，就能清楚地看出它们之间的关系。从上图可以看出，图书总数90本没有变。根据“三个组拥有的图书本数恰好相等”，可求出最后每个组都有90÷3=30本图书。把最后每个组的本数往前推算,就可求出每个组原有的本数。丙组原来有30-5=25本；乙组在送给丙组之前应有30+5=35本，但由于乙组的35本中有3本是向甲组借的，所以乙组原有35-3=32本；甲组原有30+3=33本。
我来解答：90÷3=30(本) 丙：30-5=25（本） 乙；30+5-3=32(本) 甲：30+3=33(本)
答：甲、乙、丙三个组原来分别有图书33本、32本、25本。
小结与提示
如果改变思考顺序，从最后一步出发，一步步倒着往前推算，问题就很容易解决。
【练习4】 P134
四个小朋友共有100支铅笔。甲给乙10支，乙给丙6支，丙给丁15支，丁给甲7支、这时四人铅笔支数恰好相等。四个小朋友原来各有多少支铅笔？
实践与应用
【例5】解放军某部队参加抗洪救灾。从第一队抽调一半人员支援第二队，再抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半人员支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人。第一队原有多少人？
【分析与解答】
这道题如果直接下手，好像有点困难，是不是可以逆向思维呢？
对！可以从最后一个条件开始倒着推算，由“后来又调进8人，这时第一队还有30人”可以推出调进之前第一队有30-8=22人。由“抽调剩下的一半人员支援第四队”可以推出，如果不调人去支援第四队，第一队有22×2=44人。再由“抽调35人支援第三队”可以推出，如果不调人去支援第三队，第一队有44+35=79人。最后由“抽调一半人员支援第二队”可以推出，第一队原有79×2=158人。
我来解答：[(30-8)×2+35]×2=79×2=158(人) 答：第一队原有158人。
小结与提示
这道题重点是找到最后一个条件，从第一队的人数入手，依次往前逆推。
【练习5】 P135
小华有一些图书。他先把这些图书的一半借给了小明，又借给了小青4本，然后把剩下图书的一半借给了小敏，后来妈妈又送给小华5本，这时小华还有12本图书。小华原来有图书多少本？
实践与应用
课堂小结
还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后的结果，要求最初状态的一类问题。
解答还原问题的一般方法：原题加的用减，原题减的用加，原题乘的用除，原题除的用乘。
根据原题的叙述顺序，从正面列出数量关系，再用逆运算的方法得出原数。
【例题1】 小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？
【思路导航】
从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。
三、拔高提升
【例题2】 某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？
【思路导航】
从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
【例题3】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？
【思路导航】
不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。
【例题4】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？
【思路导航】
如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。
【例题5】两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？
【思路导航】
先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个。
宝剑锋从磨砺出，
梅花香自苦寒来！
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