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第2课时　等差数列
[考试要求]　1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，___叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝______．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_______________．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f (x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d．若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f (x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0．
[常用结论]
等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d．
(4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的．
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝．
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇－S偶＝an＋1，＝．
(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2．(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P15例2改编)等差数列－5，－9，－13，…的第100项是(　　)
A．－393 B．－397
C．－401 D．－405
2．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝7，S10＝21，则S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
3．(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．
4．(人教A版选择性必修第二册P23练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．
考点一　等差数列基本量的运算
[典例1]　(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
(2)(2025·甘肃庆阳模拟)为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为 ________分钟．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程组达到“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
[跟进训练]
1．(1)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是中的(　　)
A．第28项 B．第29项
C．第30项 D．第32项
(2) “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影长为15.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是________尺．
(3)在数列{an}中，a1＝2，＝，则数列{an}的通项公式为an＝________．
考点二　 等差数列的判定与证明
[典例2]　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1．
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[跟进训练]
2．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
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考点三　等差数列性质的应用
　等差数列项的性质
[典例3]　(1)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B．
C．1 D．
(2)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)
A．120　　 B．140　　
C．160　　 D．180
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　等差数列前n项和的性质
[典例4]　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　)
A．0 B．－10
C．－30 D．－40
(2)有两个等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn．
①若＝，则＝________；
②若＝，则＝________．
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　利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．
(2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
[跟进训练]
3．(1)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(　　)
A．1 666 B．1 654
C．1 472 D．1 460
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)
A．39 B．20
C．19 D．10
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 025＝________．
考点四　等差数列的前n项和及其最值
[典例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[四字解题]
读 想 算 思
S10＝S15，求Sn的最大值及相应n的值 求最值的方法 函数法 前n项和Sn 数形 结合
图象法
邻项变号法 通项an 转化 化归
性质法 am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)
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　处理等差数列前n项和Sn的最值的两类观点
(1)函数观点：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象，利用求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*．
(2)邻项变号观点：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．
[跟进训练]
4．(1)(多选)(2024·辽宁名校联考二模)设是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d≤0
B．a7＝0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．满足Sn<0的n的最小值为14
(2)(2025·辽宁本溪模拟)设Sn是数列的前n项和，Sn＝2n2－17n．
①求的通项公式，并求Sn的最小值；
②设bn＝，求数列的前n项和Tn．
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第2课时　等差数列
梳理·必备知识
1．(1)同一个常数　(2)A　a＋b
2．(1)a1＋(n－1)d
激活·基本技能
一、(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、1．C　[由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，所以a100＝－4×100－1＝－401．]
2．B　[法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，
∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42．故选B．
法二：∵{an}为等差数列，∴也为等差数列，
∴，∴S15＝42．故选B．]
3．30　[由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n．当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30．]
4．29　[设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29．]
考点一
典例1　(1)ABC　(2)1 085　[(1)S4＝＝0，
所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得
所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n＝n(n－4)，故C正确．故选ABC．
(2)小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，
由题意知小明每天的运动时长构成等差数列{an}，其中a1＝5，d＝2，
∴S31＝31×5＋×2＝1 085(分钟)，
∴小明运动的总时长为1 085分钟． ]
跟进训练
1．(1)C　(2)40　(3)2n2　[(1)设等差数列的公差为d，
则
解得
所以a3·a10＝＝－45，
令an＝a1＋＝－45，
得n＝30，即a3·a10是中的第30项．故选C．
(2)设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长成等差数列，设公差为d，则a1＝15.5，a12＝4.5，所以15.5＋11d＝4.5，则d＝－1，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为a5＋a6＋a7＋a8＝11.5＋10.5＋9.5＋8.5＝40．
(3)由得，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则有＋(n－1)d＝(n－1)＝n，
所以数列的通项公式为an＝2n2．]
考点二
典例2　证明：①③?②．
已知{an}是等差数列，a2＝3a1．
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1．
因为数列{an}的各项均为正数，所以，
所以＝(n＋1)(常数)，所以数列{}是等差数列．
①②?③．
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n．
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1．
②③?①．
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1．
设数列{}的公差为d，d>0，则＝d，
得a1＝d2，所以＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，当n＝1时，a1＝d2也满足上式，所以an＝2d2n－d2＝d2＋(n－1)·2d2，所以数列{an}是等差数列．
跟进训练
2．解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝(n∈N*)，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－．
当n＝1时，a1＝不满足上式，
故an＝
考点三
考向1　典例3　(1)D　(2)C　[(1)根据等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，得S9＝＝1，故a3＋a7＝．
故选D．
(2)因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160．故选C．]
考向2　典例4　(1)C　(2)①　②　[(1)由等差数列{an}的前n项和的性质可得，S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴2×(10－20)＝20＋S30－10，解得S30＝－30．故选C．
(2)①若＝，
则＝＝＝．
②若＝＝，则可设Sn＝k，Tn＝k，k≠0，
所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝．]
跟进训练
3．(1)A　(2)B　(3)12 150　[(1)有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为×17＝1 666，即数列{an}的各项之和为1 666．故选A．
(2)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－－1＝0可化为2am－－1＝0，解得am＝1．又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20．故选B．
(3)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1，所以＋2 024d＝－2 018＋2 024＝6，
所以S2 025＝12 150．]
考点四
典例5　解：法一(函数法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
解得d＝－．
Sn＝20n＋＝－n2＋n
＝－＋．
因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．
法二(图象法)：
因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
又＝，所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．
因为S12＝S13＝12×20＋＝130，所以最大值为S12＝S13＝130．
法三 (邻项变号法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
an＝20＋(n－1)×＝－n＋．
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0．
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0．
所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
法四(性质法)：
由S10＝S15，得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，即a13＝0．
又d＝＝－，
所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
跟进训练
4．(1)BCD　[A项，因为S6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，S8－S7＝a8<0，
所以d＝a8－a7<0，故A错误；
B项，由A的解析可得B正确；
C项，因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故C正确；
D项，因为2a7＝a1＋a13，由S13＝0，
故D正确．故选BCD．]
(2)解：①由数列的前n项和Sn＝2n2－17n，得a1＝S1＝－15，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[2(n－1)2－17(n－1)]＝4n－19．
当n＝1时，a1＝4－19＝－15，满足上式，
所以数列{an}的通项公式an＝4n－19，n∈N*．
则公差d＝an－an－1＝4，
由an＝4n－19≥0得n≥，
∴n＝1，2，3，4时an<0，n≥5时，an>0，
∴Sn的最小值为S4＝4a1＋d＝－36．
②由①知，当n≤4时，bn＝＝－an；
当n≥5时，bn＝＝an，Sn＝2n2－17n，
当n≤4时，Tn＝－Sn＝17n－2n2．
当n≥5时，Tn＝－＋a5＋a6＋…＋an＝Sn－2S4＝2n2－17n＋72，
∴Tn＝
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第六章
　数列
第2课时　等差数列
[考试要求]　1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
链接教材·夯基固本
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，___叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝______．
同一个常数
A
a＋b
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_______________．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f (x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d．若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列．
a1＋(n－1)d
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f (x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0．
[常用结论]
等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d．
(4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的．
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝．
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇－S偶＝an＋1，＝．
(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)
×
√
√
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P15例2改编)等差数列－5，－9，
－13，…的第100项是(　　)
A．－393 B．－397
C．－401 D．－405
C　[由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，所以a100＝－4×100－1＝－401．]
2．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝7，S10＝21，则S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
√
B　[法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，
∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42．故选B．
法二：∵{an}为等差数列，∴也为等差数列，
∴＝，∴S15＝42．故选B．]
3．(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．
30
30　[由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n．当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30．]
4．(人教A版选择性必修第二册P23练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．
29　[设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29．]
29
考点一　等差数列基本量的运算
[典例1]　(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
(2)(2025·甘肃庆阳模拟)为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为 ________分钟．
典例精研·核心考点
√
√
√
1 085
(1)ABC　(2)1 085　[(1)S4＝＝0，
所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得
所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n＝n(n－4)，故C正确．故选ABC．
(2)小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，
由题意知小明每天的运动时长构成等差数列{an}，其中a1＝5，d＝2，
∴S31＝31×5＋×2＝1 085(分钟)，
∴小明运动的总时长为1 085分钟． ]
【教用·备选题】
(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25　　 B．22　　 C．20　　 D．15
√
C　[法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20．故选C．
法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5，①
由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②
由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20．故选C．]
名师点评　解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程组达到“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
[跟进训练]
1．(1)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是中的(　　)
A．第28项 B．第29项
C．第30项 D．第32项
√
(2) “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影长为15.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是________尺．
(3)在数列{an}中，a1＝2，＝，则数列{an}的通项公式为an＝________．
40
2n2
(1)C　(2)40　(3)2n2　[(1)设等差数列的公差为d，
则解得
所以a3·a10＝＝9×＝－45，
令an＝a1＋d＝13－2＝－45，
得n＝30，即a3·a10是中的第30项．故选C．
(2)设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长成等差数列，设公差为d，则a1＝15.5，a12＝4.5，所以15.5＋11d＝4.5，则d＝－1，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为a5＋a6＋a7＋a8＝11.5＋10.5＋9.5＋8.5＝40．
(3)由＝得＝，
而＝，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则有＝＋(n－1)d＝(n－1)＝n，
所以数列的通项公式为an＝2n2．]
【教用·备选题】
写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的一个通项公式，则an＝__________________．
2n－6(答案不唯一)
2n－6(答案不唯一)　[要满足前3项之和小于第3项，则a1＋a2＋a3不妨设a1＝－4，a2＝－2，
则an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6．]
考点二　 等差数列的判定与证明
[典例2]　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1．
[证明]　①③ ②．
已知{an}是等差数列，a2＝3a1．
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1．
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①② ③．
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n．
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1．
②③ ①．
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1．
设数列{}的公差为d，d>0，则＝＝d，
得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，当n＝1时，a1＝d2也满足上式，所以an＝2d2n－d2＝d2＋(n－1)·2d2，所以数列{an}是等差数列．
名师点评　判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1．
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[跟进训练]
2．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝(n∈N*)，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－．
当n＝1时，a1＝不满足上式，
故an＝
【教用·备选题】
1．(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－2n-1，证明：是等差数列；
(2)已知数列{an}的前n项积为Tn，且满足＝，证明：数列{Tn}为等差数列．
[证明]　(1)由Sn＝an－2n-1，得Sn＋1＝an＋1－2n．
所以(Sn＋1－Sn)＝an＋1－an－2n-1，
即an＋1＝an＋1－an－2n-1，整理得an＋1－2an＝2n，
上式两边同时除以2n，得＝1．
又Sn＝an－2n-1，所以a1＝a1－1，即a1＝2，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)因为＝，
当n＝1时，＝＝，即＝3a1，易知a1≠0，则T1＝a1＝3，
当n≥2时，＝＝＝，所以Tn－Tn－1＝2，
故数列{Tn}是以3为首项，2为公差的等差数列．
2．数列满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1．
(1)求a2，a3；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式．
解：(1)由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1，
可知4a2＋1＝3＋a2，a2＝，
4a2a3＋1＝3a2＋a3，a3＝．
(2)证明：由已知得，an＋1＝．
∴＝
＝＝＝2，
又∵＝＝1，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴＝2n－1，解得an＝．
考点三　等差数列性质的应用
考向1　等差数列项的性质
[典例3]　(1)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B．
C．1 D．
√
(2)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)
A．120　　 B．140　　
C．160　　 D．180
√
(1)D　(2)C　[(1)根据等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，
得S9＝＝＝1，故a3＋a7＝．
故选D．
(2)因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160．故选C．]
考向2　等差数列前n项和的性质
[典例4]　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　)
A．0 B．－10
C．－30 D．－40
(2)有两个等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn．
①若＝，则＝________；
②若＝，则＝________．
√
(1)C　(2)①　②　[(1)由等差数列{an}的前n项和的性质可得，S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴2×(10－20)＝20＋S30－10，解得S30＝－30．故选C．
(2)①若＝，
则＝＝＝．
②若＝＝，则可设Sn＝k，Tn＝k，k≠0，
所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝．]
名师点评　利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．
(2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
[跟进训练]
3．(1)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(　　)
A．1 666 B．1 654
C．1 472 D．1 460
√
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)
A．39 B．20
C．19 D．10
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 025＝________．
√
12 150
(1)A　(2)B　(3)12 150　[(1)有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为×17＝1 666，即数列{an}的各项之和为1 666．故选A．
(2)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则－1＝0可化为－1＝0，解得am＝1．又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20．故选B．
(3)由等差数列的性质可得也为等差数列，
设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1，
所以＝＋2 024d＝－2 018＋2 024＝6，
所以S2 025＝12 150．]
考点四　等差数列的前n项和及其最值
[典例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[四字解题]
读 想 算 思
S10＝S15，求Sn的最大值及相应n的值 求最值的方法 函数法 前n项和Sn 数形
结合
图象法 邻项变号法 通项an 转化
化归
性质法 am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*) 解：法一(函数法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
解得d＝－．
Sn＝20n＋＝－n2＋n＝－＋．
因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．
法二(图象法)：
因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
又＝，所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．
因为S12＝S13＝12×20＋＝130，所以最大值为S12＝S13＝130．
法三 (邻项变号法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
an＝20＋(n－1)×＝－n＋．
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0．
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0．
所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
法四(性质法)：
由S10＝S15，得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，即a13＝0．
又d＝＝－，
所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
名师点评　处理等差数列前n项和Sn的最值的两类观点
(1)函数观点：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象，利用求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*．
(2)邻项变号观点：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．
[跟进训练]
4．(1)(多选)(2024·辽宁名校联考二模)设是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d≤0
B．a7＝0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．满足Sn<0的n的最小值为14
(2)(2025·辽宁本溪模拟)设Sn是数列的前n项和，Sn＝2n2－17n．
①求的通项公式，并求Sn的最小值；
②设bn＝，求数列的前n项和Tn．
√
√
√
(1)BCD　[A项，因为S6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，S8－S7＝a8<0，
所以d＝a8－a7<0，故A错误；
B项，由A的解析可得B正确；
C项，因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故C正确；
D项，因为2a7＝a1＋a13，由S13＝＝0，S14＝＝7<0，
故D正确．故选BCD．]
(2)解：①由数列的前n项和Sn＝2n2－17n，得a1＝S1＝－15，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[2(n－1)2－17(n－1)]＝4n－19．
当n＝1时，a1＝4－19＝－15，满足上式，
所以数列{an}的通项公式an＝4n－19，n∈N*．
则公差d＝an－an－1＝4，
由an＝4n－19≥0得n≥，
∴n＝1，2，3，4时an<0，n≥5时，an>0，
∴Sn的最小值为S4＝4a1＋d＝－36．
②由①知，当n≤4时，bn＝＝－an；
当n≥5时，bn＝＝an，Sn＝2n2－17n，
当n≤4时，Tn＝－Sn＝17n－2n2．
当n≥5时，Tn＝－＋a5＋a6＋…＋an＝Sn－2S4＝2n2－17n＋72，
∴Tn＝
【教用·备选题】
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12>0，S13<0，则下列选项中，最大的是(　　)
A．S12　　B．S7　　C．S6　　D．S1
√
C　[因为S12>0，所以＝>0，所以a6＋a7>0，
又因为S13<0，所以＝<0，
所以a7<0，又a6＋a7>0，所以a6>0，
所以为递减数列，且前6项为正值，从第7项开始为负值，所以(Sn)max＝S6．故选C．]
2．已知数列的前n项和为Sn．若为等差数列，且满足S1＝8，＝5．
(1)求数列的通项公式；
(2)设Tn＝＋…＋，求Tn．
解：(1)由题意，设等差数列的公差为d，又＝8，＝5，
∴3d＝5－8＝－3，∴d＝－1，
∴＝8＋＝9－n，
∴Sn＝－n2＋9n，则Sn－1＝－＋9＝－n2＋11n－10，n≥2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－2n＋10，
又a1＝8，满足上式，∴an＝－2n＋10，n∈N*．
(2)由(1)得，a1>a2>…>a5＝0>a6>…，
当n≤5时，Tn＝＋…＋＝a1＋a2＋…＋an＝＝－n2＋9n，
当n≥6时，Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×－(－n2＋9n)＝n2－9n＋40，
∴Tn＝n∈N*．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．记等差数列的前n项和为Sn．若a5＝7，a10＝2，则S14＝(　　)
A．49 B．63
C．70 D．126
13
课后作业(三十四)　等差数列
√
14
B　[因为是等差数列，故a1＋a14＝a5＋a10＝9，所以S14＝＝63．故选B．]
2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，
则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．已知数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，则a2 025＝(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[因为数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，所以＝1，＝4，
设该等差数列的公差为d，则3d＝4－1＝3，即d＝1，
则＝1＋2 024d＝2 025，
所以a2 025＝－．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·浙江绍兴二模)已知等差数列的前n项和为Sn，且＝6，则a7－a4＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[由题意设等差数列的首项、公差分别为a1，d，因为＝(2a1＋d)＝d＝6，所以d＝4，从而a7－a4＝3d＝12．故选D．]
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[∵＝，∴＝＝＝＝3．故选D．]
6．若2a＝3，2b＝6，2c＝12，则(　　)
A．a，b，c是等差数列
B．a，b，c是等比数列
C．是等差数列
D．是等比数列
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[因为2a＝3，2b＝6，2c＝12，
所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，
则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．(2025·湖南长沙模拟)设等差数列{an}的公差为d，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[因为an＝a1＋(n－1)d，所以＝＋d，
当0＜a1＜d时，a1－d＜0，而＞，则＜，因此＜，所以为递增数列，故充分性成立；当为递增数列时，＜，即有＜，整理得a1＜d，不能推出0＜a1＜d，故必要性不成立，所以“0题号
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8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环
数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面
形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
题号
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√
C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402．故选C．]
题号
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二、多项选择题
9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则下列说法正确的有(　　)
A．d＞0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
题号
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√
√
CD　[由S11＝＝11a6＞0，得a6＞0，又S12＝＝6(a6＋a7)＜0，得a6＋a7＜0，
∴a6＞0，a7＜0，d＜0，∴数列{an}是递减数列，其前6项为正数，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，∴a4＞0，a9＜0，|a4|－|a9|＝a4＋a9＝a6＋a7＜0，即|a4|＜|a9|，故A、B错误，C、D正确．]
题号
1
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10．已知数列的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则(　　)
A．为等差数列
B．a10＝10
C．为递增数列
D．的前20项和为10
题号
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√
√
AD　[A选项，因为an－an＋1＝anan＋1，所以＝1，所以是公差为1的等差数列，A正确；
B选项，因为a1＝1，所以＝1，故＝1＋＝n，故an＝， 则a10＝，B错误；
C选项，an＝，当n≥2时，an－an－1＝<0，为递减数列，C错误；
D选项，当n为奇数时，＝－n，当n为偶数时，＝n，
所以的前20项和为－1＋2－3＋4－…－19＋20＝＋…＋＝10，D正确．故选AD．]
题号
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三、填空题
11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
题号
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2　[由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．]
2
12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝________．
题号
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10　[设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10．]
10
四、解答题
13． (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
题号
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解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1，
即2Sn＋n2＝2nan＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋，②
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－，
即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1，
即2an－2an－1＝2，
所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，
所以是以1为公差的等差数列．
题号
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(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4 ·a9，
即＝，解得a1＝－12，
所以Sn＝－12n＋＝n2－n
＝－，
所以当n＝12或n＝13时，＝－78．
题号
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14．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
题号
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解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，
所以an＝nd．
因为bn＝，所以bn＝＝，
所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＝．
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d＞1，所以d＝3．
所以{an}的通项公式为an＝3n．
题号
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(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝，
所以＝，
所以－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d．
题号
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①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
所以99×50d－＝99，
即50d 2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去)．
题号
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②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
题号
1
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所以99×51d－＝99，
即51d 2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．
综上，d＝．
题号
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谢 谢！课后作业(三十四)　等差数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．记等差数列的前n项和为Sn．若a5＝7，a10＝2，则S14＝(　　)
A．49 B．63
C．70 D．126
2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．已知数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，则a2 025＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．(2024·浙江绍兴二模)已知等差数列的前n项和为Sn，且＝6，则a7－a4＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
6．若2a＝3，2b＝6，2c＝12，则(　　)
A．a，b，c是等差数列
B．a，b，c是等比数列
C．是等差数列
D．是等比数列
7．(2025·湖南长沙模拟)设等差数列{an}的公差为d，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
二、多项选择题
9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则下列说法正确的有(　　)
A．d＞0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
10．已知数列的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则(　　)
A．为等差数列
B．a10＝10
C．为递增数列
D．的前20项和为10
三、填空题
11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝________．
四、解答题
13． (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
14．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
课后作业(三十四)　
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[因为是等差数列，故a1＋a14＝a5＋a10＝9，所以S14＝＝63．故选B．]
2．B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，
则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝．
故选B．]
3．D　[因为数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，所以＝1，＝4，
设该等差数列的公差为d，则3d＝4－1＝3，即d＝1，
则＝1＋2 024d＝2 025，
所以a2 025＝－．故选D．]
4．D　[由题意设等差数列的首项、公差分别为a1，d，因为＝(2a1＋d)＝d＝6，所以d＝4，从而a7－a4＝3d＝12．故选D．]
5．D　[∵＝，∴＝＝＝＝3．故选D．]
6．A　[因为2a＝3，2b＝6，2c＝12，
所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，
则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故选A．]
7．A　[因为an＝a1＋(n－1)d，所以＝＋d，
当0＜a1＜d时，a1－d＜0，而＞，则＜，因此＜，所以为递增数列，故充分性成立；当为递增数列时，＜，即有＜，整理得a1＜d，不能推出0＜a1＜d，故必要性不成立，所以“08．C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402．故选C．]
9．CD　[由S11＝＝11a6＞0，得a6＞0，又S12＝＝6(a6＋a7)＜0，得a6＋a7＜0，
∴a6＞0，a7＜0，d＜0，∴数列{an}是递减数列，其前6项为正数，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，∴a4＞0，a9＜0，|a4|－|a9|＝a4＋a9＝a6＋a7＜0，即|a4|＜|a9|，故A、B错误，C、D正确．]
10．AD　[A选项，因为an－an＋1＝anan＋1，所以＝1，所以是公差为1的等差数列，A正确；
B选项，因为a1＝1，所以＝1，故＝1＋＝n，故an＝， 则a10＝，B错误；
C选项，an＝，当n≥2时，an－an－1＝<0，为递减数列，C错误；
D选项，当n为奇数时，＝－n，当n为偶数时，＝n，
所以的前20项和为－1＋2－3＋4－…－19＋20＝＋…＋＝10，D正确．故选AD．]
11．2　[由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．]
12．10　[设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10．]
13．解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1，
即2Sn＋n2＝2nan＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋，②
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－，
即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1，
即2an－2an－1＝2，
所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，
所以是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4 ·a9，
即＝，解得a1＝－12，
所以Sn＝－12n＋＝n2－n
＝－，
所以当n＝12或n＝13时，＝－78．
[B组　在综合中考查关键能力]
14．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，
所以an＝nd．
因为bn＝，所以bn＝＝，
所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＝．
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d＞1，所以d＝3．
所以{an}的通项公式为an＝3n．
(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝，
所以＝，
所以－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d．
①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
所以99×50d－＝99，
即50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去)．
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
所以99×51d－＝99，
即51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．
综上，d＝．
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