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第4课时　数列求和
[考试要求]　1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握数列求和的常用方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝________．
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．
常见的拆项类型
①分式型：＝＝，
＝ 等；
②指数型：＝＝等；
③根式型：＝)等；
④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么这个数列的前n项和可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，各项可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)的数列求和，可采用并项求和法求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050．
提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证．
[常用结论]
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝． (　　)
(2)当n≥2时，＝． (　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解． (　　)
(4)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
A．1 B．
C． D．
2．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n+1＋n2－1
C．2n+1＋n2－2 D．2n＋n－2
4．(人教B版选择性必修第三册P56习题5－5BT3改编)Sn＝＋…＋＝________．
考点一　分组求和与并项求和
　分组求和
[典例1]　(2025·河南信阳模拟)已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2＋a4＝13，S7＝49．
(1)求的通项公式；
(2)设bn＝，求数列的前n项和Tn．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　并项求和
[典例2]　(2025·辽宁实验中学模拟)已知数列的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·log5，求数列的前100项和T100．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　分组求和与并项求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
(3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn的值，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn．
[跟进训练]
1．(2024·陕西渭南二模)已知等比数列的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝3，S4＝15．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足bn＝an＋(－1)n(3n－1)，求数列的前2n项和T2n．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点二　裂项相消法求和
[典例3]　(2024·河南郑州二模)在数列中，a1＝2，对任意正整数n，均有an＋1－an＝2n＋2．数列满足：＋…＋＝n2，n∈N*．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若cn＝，求数列的前n项和Sn．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　裂项相消法求和的基本步骤
[跟进训练]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋…＋<2．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点三　错位相减法求和
[典例4]　(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　错位相减法求和的具体步骤
[跟进训练]
3．(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第4课时　数列求和
梳理·必备知识
1．(1)na1＋d　(2)
激活·基本技能
一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、1．B　[∵an＝，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－．故选B．]
2．D　[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．
故选D．]
3．C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n+1＋n2－2．故选C．]
4．　[通项公式为an＝
＝，
∴Sn＝．]
考点一
考向1　典例1　解：(1)设等差数列的公差为d，
又2a2＋a4＝13，S7＝49，
所以
解得
所以的通项公式an＝a1＋＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝＝2n－1＋22n-1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝
＝＋(2＋23＋25＋…＋22n-1)＝＋n2．
考向2　典例2　解：(1)证明：在数列中，4Sn＝5an－2，当n≥2时，4Sn－1＝5an－1－2，两式相减得an＝5an－1，
而a1＝S1＝，解得a1＝2，
所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为an＝2×5n-1．
(2)由(1)知，bn＝(－1)n·log5＝(－1)n·
所以T100＝＝2＋2＋2＋…＋2＝2×50＝100．
跟进训练
1．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a1＋a2＝3及S4＝15，
得a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝12，
解得q＝2，于是a1＋a2＝3a1＝3，即a1＝1，
所以数列{an}的通项公式是an＝a1qn-1＝2n-1．
(2)由(1)知，bn＝2n-1＋(－1)n(3n－1)，
所以T2n＝(1＋2＋22＋…＋22n-1)＋[(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋(－6n＋4＋6n－1)]
＝＋3n＝22n＋3n－1．
考点二
典例3　解：(1)因为an＋1－an＝2n＋2，
当n≥2，n∈N*时，
累加得an－a1＝，
即an＝n，
经检验，a1＝2满足an＝n，
所以数列的通项公式为an＝n．
因为＋…＋＝n2，n∈N*①，
当n＝1时，b1＝3，
当n≥2，n∈N*时，＋…＋＝(n－1)2②，
①－②得＝n2－(n－1)2＝2n－1，即bn＝×3n，
经检验，b1＝3满足bn＝×3n，
所以数列的通项公式为bn＝×3n．
(2)由(1)可得cn＝＝
＝＝，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋…＋＝－3．
即数列的前n项和Sn＝－3．
跟进训练
2．解：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差为的等差数列，
∴(n－1)＝，
∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即(n≥2)，
∴an＝a1×
＝1×(n≥2)，
显然对于n＝1时，a1＝1也满足上式，
∴{an}的通项公式为an＝．
(2)证明：由(1)知an＝，
∴＝＝2，
∴＋…＋＝2 ＝2＜2．
考点三
典例4　解：(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4．
当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1，
而a1＝4≠0，故an≠0，故＝－3，
所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1．
(2)因为bn＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，
故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，
两式相减得－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4×3n-1－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝4＋2×3×(3n-1－1)－4n·3n＝(2－4n)·3n－2，
∴Tn＝(2n－1)·3n＋1．
跟进训练
3．解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，
∴2an＝nan－(n－1)an－1，
∴(n－1)an－1＝(n－2)an，
当n≥3时，可得，
∴an＝×a2＝n－1，
当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝n－1．
(2)由(1)可得，
∴Tn＝，
∴，
两式相减得，∴Tn＝2－．
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第六章
　数列
第4课时　数列求和
[考试要求]　1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握数列求和的常用方法．
链接教材·夯基固本
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝_________________．
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
na1＋d
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．
常见的拆项类型
①分式型：＝＝，
＝ 等；
②指数型：＝＝等；
③根式型：＝)等；
④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么这个数列的前n项和可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，各项可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)的数列求和，可采用并项求和法求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050．
提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证．
[常用结论]
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝． (　　)
(2)当n≥2时，＝． (　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解． (　　)
(4)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5． (　　)
√
√
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
A．1 B．
C． D．
B　[∵an＝＝，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋…＋＝．故选B．]
2．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
√
D　[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．故选D．]
3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n+1＋n2－1
C．2n+1＋n2－2 D．2n＋n－2
√
C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n+1＋n2－2．
故选C．]
4．(人教B版选择性必修第三册P56习题5－5BT3改编)Sn＝＋…＋＝________．
　[通项公式为an＝
＝＝，
∴Sn＝＝＝．]
考点一　分组求和与并项求和
考向1　分组求和
[典例1]　(2025·河南信阳模拟)已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2＋a4＝13，S7＝49．
(1)求的通项公式；
(2)设bn＝，求数列的前n项和Tn．
典例精研·核心考点
解：(1)设等差数列的公差为d，
又2a2＋a4＝13，S7＝49，
所以
解得
所以的通项公式an＝a1＋d＝1＋2＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝＝2n－1＋22n-1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋…＋
＝＋(2＋23＋25＋…＋22n-1)＝＝＋n2．
【教用·备选题】
在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)证明：∵an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)，
∴当n≥2时，＝＝＝2，
∴数列{an＋3n}是首项为a1＋3＝2，公比为2的等比数列，
∴an＋3n＝2n，an＝2n－3n．
(2)bn＝an＋n＝2n－3n＋n＝2n－2n，
数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21－2)＋(22－4)＋(23－6)＋…＋(2n－2n)
＝21＋22＋…＋2n－(2＋4＋6＋…＋2n)＝×n＝2n+1－2－n(n＋1)．
考向2　并项求和
[典例2]　(2025·辽宁实验中学模拟)已知数列的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·log5，求数列的前100项和T100．
解：(1)证明：在数列中，4Sn＝5an－2，当n≥2时，4Sn－1＝5an－1－2，两式相减得an＝5an－1，
而a1＝S1＝a1－，解得a1＝2，
所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为an＝2×5n-1．
(2)由(1)知，bn＝(－1)n·log5＝(－1)n·log5＝(－1)n·(2n＋1)，
所以T100＝＋…＋＝＋…＋＝2＋2＋2＋…＋2＝2×50＝100．
【教用·备选题】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)设数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝25，得a3＝a1＋2d＝5，
又a5＝9＝a1＋4d，所以d＝2，a1＝1，
所以an＝2n－1，Sn＝＝n2．
(2)结合(1)知bn＝(－1)nn2，
当n为偶数时，
Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(bn－1＋bn)
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]
＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]
＝1＋2＋3＋…＋n＝．
当n为奇数时，n－1为偶数，
Tn＝Tn－1＋(－1)n·n2＝－n2＝－．
综上可知，Tn＝．
名师点评　分组求和与并项求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
(3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn的值，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn．
[跟进训练]
1．(2024·陕西渭南二模)已知等比数列的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝3，S4＝15．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足bn＝an＋(－1)n(3n－1)，求数列的前2n项和T2n．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a1＋a2＝3及S4＝15，
得a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝12，
解得q＝2，于是a1＋a2＝3a1＝3，即a1＝1，
所以数列{an}的通项公式是an＝a1qn-1＝2n-1．
(2)由(1)知，bn＝2n-1＋(－1)n(3n－1)，
所以T2n＝(1＋2＋22＋…＋22n-1)＋[(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋(－6n＋4＋6n－1)]
＝＋3n＝22n＋3n－1．
【教用·备选题】
已知数列{an}满足＋…＋＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对于任意的n∈N*，令bn＝ 求数列的前n项和Sn．
解：(1)当n＝1时，得＝，解得a1＝1；
由＋…＋＝，①
可得当n≥2时，＋…＋＝，②
由①－②，得＝＝，
即an＝2－n(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2－n．
(2)由(1)及题意知bn＝
当n为偶数时，
Sn＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋2－(n－1)]＋(20＋2-2＋…＋22-n)
＝＝
＝；
当n为奇数时，
Sn＝Sn＋1－bn＋1＝－21-n＝．
综上所述，
Sn＝
考点二　裂项相消法求和
[典例3]　(2024·河南郑州二模)在数列中，a1＝2，对任意正整数n，均有an＋1－an＝2n＋2．数列满足：＋…＋＝n2，n∈N*．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若cn＝，求数列的前n项和Sn．
解：(1)因为an＋1－an＝2n＋2，
当n≥2，n∈N*时，
累加得an－a1＝，
即an＝n，
经检验，a1＝2满足an＝n，
所以数列的通项公式为an＝n．
因为＋…＋＝n2，n∈N*①，
当n＝1时，b1＝3，
当n≥2，n∈N*时，＋…＋＝(n－1)2②，
①－②得＝n2－(n－1)2＝2n－1，即bn＝×3n，
经检验，b1＝3满足bn＝×3n，
所以数列的通项公式为bn＝×3n．
(2)由(1)可得cn＝＝＝＝，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋…＋＝－3．
即数列的前n项和Sn＝－3．
名师点评　裂项相消法求和的基本步骤
[跟进训练]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋…＋<2．
解：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，
∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝(n≥2)，
∴an＝a1××…×
＝1××…×＝(n≥2)，
显然对于n＝1时，a1＝1也满足上式，
∴{an}的通项公式为an＝．
(2)证明：由(1)知an＝，
∴＝＝2，
∴＋…＋＝2 ＝2＜2．
【教用·备选题】
1．在数列{an}中，＋…＋＝n2＋n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋…＋<．
解：(1)因为＋…＋＝n2＋n，①
则当n＝1时，＝2，即a1＝4，
当n≥2时，＋…＋＝n2－n，②
①－②得＝2n，所以an＝2n(n＋1)，
a1＝4也满足an＝2n(n＋1)，故对任意的n∈N*，an＝2n(n＋1)．
(2)证明：＝＝＝
＝，
所以＋…＋
＝
＝．
2．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝(Sn为数列{an}的前n项和)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 025．
解：(1)由Sn＝，得Sn－1＝(n≥2)，
两式相减得an＝(n≥2)，
化简得(n－1)an＝nan－1，
所以＝＝…＝＝1，所以an＝n．
(2)由(1)知bn＝(－1)n+1＝(－1)n+1，所以T2 025＝－…－＝1＋＝．
考点三　错位相减法求和
[典例4]　(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4．
当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1，
而a1＝4≠0，故an≠0，故＝－3，
所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×
(－3)n-1．
(2)因为bn＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，
故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，
两式相减得－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4×3n-1－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝4＋2×3×(3n-1－1)－4n·3n＝(2－4n)·3n－2，
∴Tn＝(2n－1)·3n＋1．
名师点评　错位相减法求和的具体步骤
[跟进训练]
3．(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，
∴2an＝nan－(n－1)an－1，
∴(n－1)an－1＝(n－2)an，
当n≥3时，可得＝，
∴an＝×…××a2＝n－1，
当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝n－1．
(2)由(1)可得＝，
∴Tn＝＋…＋，
∴Tn＝＋…＋，
两式相减得Tn＝＋…＋＝＝1－，∴Tn＝2－．
【教用·备选题】
1．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝qn-1．
因为a1，3a2，9a3成等差数列，
所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，
故an＝，bn＝．
(2)证明：由(1)知Sn＝＝，
Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
①－②得Tn＝＋…＋，
即Tn＝＝，
整理得Tn＝，
则2Tn－Sn＝2＝－＜0，
故Tn＜．
2．已知正项数列{an}满足＝．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记数列的前n项和为Sn，证明：Sn<4．
解：(1)因为＝，①
当n＝1时＝1，
因为 an>0，所以a1＝1，
当n≥2时＝，②
①－②得＝＝4n-1＝(2n-1)2，
因为 an>0，
所以an＝2n-1，n≥2，n∈N*，
经检验，上式对于n＝1也适合，
所以{an}的通项公式为an＝2n-1．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n·，
所以Sn＝1×1＋2×＋3×＋…＋n·，
Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，
两式相减得，Sn＝1＋＋…＋－n·＝－n·＝2－(n＋2)，
所以Sn＝4－(2n＋4)，
由于n∈N*，显然(2n＋4)>0，
所以Sn<4．
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)．求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和Sn．
课后作业(三十六)　数列求和
2
4
3
题号
1
真题感悟 明确考向
2
4
3
题号
1
解：(1)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，故＝，
所以＝，…，＝，故＝n·2n-1，
所以an＝n·2n-1．
又a1＝1也符合an＝n·2n-1，故an＝n·2n-1．
(2)由(1)得：Sn＝1＋2×21＋…＋n·2n-1，①
所以2Sn＝2＋2×22＋…＋n·2n，②
①－②得：－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
整理得Sn＝(n－1)·2n＋1．
2
3
题号
1
4
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
2
3
题号
1
4
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵an＋1＝2Sn＋2，∴当n＝1时，a2＝2S1＋2，当n＝2时，a3＝2S2＋2．
∴a3－a2＝2a2，∴q＝＝3，
∴3a1＝2a1＋2，∴a1＝2，∴an＝2×3n-1．
2
3
题号
1
4
(2)由(1)得an＋1＝2×3n，由题得dn＝＝＝，
∴cn＝＝＝
＝2，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×＋2×＋…＋2×＝2×＝．
2
3
题号
4
1
3．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
2
3
题号
4
1
解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8．
解得q＝2，q＝(舍去)．由题设得a1＝2．
所以{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n+1时，bm＝n．
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．
2
4
3
题号
1
4．(2025·湖北武汉期末)在数列中，a1＝5，且an＋1＝2an－1．
(1)求数列的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n·an，求数列的前n项和Sn．
2
4
3
题号
1
解：(1)an＋1－1＝2an－2＝2，a1－1＝4，
∴是首项为4，公比为2的等比数列．
∴an－1＝4·2n-1＝2n+1，∴an＝2n+1＋1，n∈N*．
(2)bn＝(－1)n·＝(－1)n·2n+1＋(－1)n，n∈N*，
∴bn＋bn＋1＝＝
＝．
当n为偶数时，Sn＝＋…＋＝22＋24＋…＋2n＝＝·2n－＝；
2
4
3
题号
1
当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝·2n-1－－2n+1－1＝－·2n－＝－．
综上，得Sn＝
谢 谢！课后作业(三十六)　数列求和
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)．求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和Sn．
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
3．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
4．(2025·湖北武汉期末)在数列中，a1＝5，且an＋1＝2an－1．
(1)求数列的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n·an，求数列的前n项和Sn．
课后作业(三十六)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．解：(1)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，故＝，
所以＝，…，＝，故＝n·2n-1，
所以an＝n·2n-1．
又a1＝1也符合an＝n·2n-1，故an＝n·2n-1．
(2)由(1)得：Sn＝1＋2×21＋…＋n·2n-1，①
所以2Sn＝2＋2×22＋…＋n·2n，②
①－②得：－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
整理得Sn＝(n－1)·2n＋1．
2．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵an＋1＝2Sn＋2，∴当n＝1时，a2＝2S1＋2，当n＝2时，a3＝2S2＋2．
∴a3－a2＝2a2，∴q＝＝3，
∴3a1＝2a1＋2，∴a1＝2，∴an＝2×3n-1．
(2)由(1)得an＋1＝2×3n，由题得dn＝＝＝，
∴cn＝＝＝
＝2，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×＋2×＋…＋2×＝2×＝．
[B组　在综合中考查关键能力]
3．解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8．
解得q＝2，q＝(舍去)．由题设得a1＝2．
所以{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n+1时，bm＝n．
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．
4．解：(1)an＋1－1＝2an－2＝2，a1－1＝4，
∴是首项为4，公比为2的等比数列．
∴an－1＝4·2n-1＝2n+1，∴an＝2n+1＋1，n∈N*．
(2)bn＝(－1)n·＝(－1)n·2n+1＋(－1)n，n∈N*，
∴bn＋bn＋1＝＝＝．
当n为偶数时，Sn＝＋…＋＝22＋24＋…＋2n
＝＝·2n－＝；
当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝·2n-1－－2n+1－1＝－·2n－＝－．
综上，得Sn＝
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