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2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册 第1章 平面向量及其应用 B卷 能力提升（含解析）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知是的中线，E在直线上，且，则( )
A. B.
C. D.
2．已知等边三角形ABC的边长为2,,,,则( )
A.3 B. C.6 D.
3．已知,,,若点D满足,则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
4．已知非零向量，，且，向量在向量方向上投影向量为，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．若向量,,且,则( )
A. B.
C. D.
6．在中,若,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
7．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,,则角C等于( )
A. B. C. D.或
8．在平行四边形中，E是对角线上靠近点C的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,,则( )
A.2 B.3 C. D.
10．下列各组向量中，可以作基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
11．已知锐角三角形三边长分别为2,7,x,则实数x的可能取值是( )
A. B. C.7 D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,,,,则____________.
13．已知向量,,且与的夹角为锐角,则x的取值范围为__________.
14．在中,已知,,,则_____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知,,,设,,.
（1）求满足的实数m,n的值;
（2）若线段靠近点B的三等分点为M,求M点的坐标.
16．如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设,.
(1)试用基底,表示;
(2)若G为长方形ABCD内部一点,且.求证：E,G,F三点共线.
17．如图,平面上A,B,C三点的坐标分别为,,.
（1）写出向量,,的坐标;
（2）如果四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标.
18．在如图所示的平面图形中,已知,,点A,B分别是线段CE,ED的中点.
(1)试用,表示;
(2)若,,且,的夹角,试求的取值范围.
19．在直角梯形中,已知,,,点F是边上的中点,点E是边上一个动点.
(1)若,求的值;
(2)求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
因为是的中线，
所以.
又因为，
所以.
所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意可知等边三角形的边长为2,
则,的夹角为,,以及,的夹角也为,
则,同理,
故,
故选：D.
3．答案：A
解析：设点,
则,,
又,所以,
所以点D的坐标为,
故选:A
4．答案：A
解析：设向量，的夹角为，
由题意知，则,
则，又，
则，即.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意得,得.
6．答案：A
解析：由,结合正弦定理可得：,
,可得：,
,则的形状为等腰三角形.
故选：A.
7．答案：B
解析：在中,,,,
由正弦定理得,
且,则,可得,
所以.
故选:B.
8．答案：A
解析：因为E是对角线上靠近点C的三等分点，所以，
则.
故选：A
9．答案：AC
解析：,,
①,
由余弦定理可得,②,
联立①②,可得,
即,
解得或
故选：AC.
10．答案：AC
解析：对于A，因为，不共线，
且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故A符合题意；
对于B，因为，，
则，所以，共线，
则向量，不可以作基底，故B不符合题意；
对于C，因为，不共线，
且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故C符合题意.
对于D，因为，，
则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故D不符合题意.
故选：AC.
11．答案：BC
解析：
解得.
故选：BC.
12．答案：或
解析：由正弦定理,即,所以,
又,所以,所以或.
故答案为：或
13．答案：
解析：由题意得,得所以x的取值范围为.
14．答案：或.
解析：由,且根据正弦定理可知,
因为,所以或.
故答案为：或.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为,,,且,,,
所以,,,
所以,
因为,可得,解得.
（2）因为线段的三等分点为M（点M靠近点B）
所以,
设,M即
所以,,解得:,
即M点的坐标为,
16．答案：(1),;
(2)证明见解析.
解析：(1)由题可知：,
(2),
,,共线,
且,有一公共点E,
E,G,F三点共线.
17．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）,
,
.
（2）设,由,可得,
所以,,故.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1)连接AB,则,
A,B分别是线段CE,ED的中点,
,则.
(2)
,
将,代入,
则.
,
,则,
故.
19．答案：(1);
(2).
解析：(1)依题意,,,,
而F是边的中点,,则,
因此,又,,
所以.
(2)由(1)知：令,,则,
,
则有,
当时,,当时,,
所以的取值范围是.
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