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2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册 第3章 复数B卷 能力提升（含解析）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．复数（i是虚数单位）的虚部为( )
A.3 B. C. D.
2．复数,则z的虚部为( )
A.2 B. C. D.
3．复数的虚部为( )
A. B.2 C. D.4
4．设复数z满足，则( )
A. B.2 C. D.4
5．设A,B,C是的内角,是一个实数,则是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定
6．复数的虚部是( )
A. B.1 C. D.i
7．若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
8．已知复数z满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知i为虚数单位，虚数z满足，则( )
A. B. C. D.
10．已知，为复数，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则与的虚部相等
C.若，则或
D.若，则
11．已知复数,则( )
A.
B.
C.复数是方程的一个根
D.复数在复平面内所对应的点位于第二象限
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知i为虚数单位,复数____________.
13．设复数,满足,,则________.
14．设i是虚数单位，，则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知实数x，y满足，求.
16．把下列复数化为三角形式.
（1）；
（2）；
（3）.
17．计算.
18．化简.
19．设z是模为1的复数，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：复数的虚部为b,
所以的虚部为.
故选:D
2．答案：B
解析：复数的实部为2,虚部为.
故选：B.
3．答案：D
解析：，
则其虚部为4.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题设，则.
故选：A
5．答案：C
解析：依题意,,
由复数z是实数,得,在中,,
由,得,因此,解得,
所以是直角三角形.
故选:C
6．答案：B
解析：复数z的虚部是.
故选：B.
7．答案：B
解析：由题意得，.故选B.
8．答案：D
解析：由可理解为复数z表示的点Z的轨迹是以为圆心,半径为2的圆,
而则可理解为圆C上的点到原点的距离,作出图形如下.
如图,当点Z在时,与原点距离最大为3,当点当点Z在时,与原点距离最小为1,
故的取值范围是.
故选:D.
9．答案：AC
解析：由得，，
所以或(舍)
选项A，因为，所以，A正确；
选项B，，B错误；
选项C，，
所以C正确；选项D，，所以D错误.
故选：AC
10．答案：AC
解析：对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确；
对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误；
对于C，若，则，
所以或，可得或，故C正确；
对于D，取，，可得，故D错误.
故选：AC
11．答案：BC
解析：对A,因为,所以,A错误;
对B,,B正确;
对C,,因为,
所以复数是方程的一个根,C正确;
对D,对应点为,位于第一象限,D错误.
故选:BC
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：
解析：方法一:设,,
,
,又,所以,,
.
故答案为:.
方法二:如图所示,设复数,所对应的点为,,,
由已知,
平行四边形为菱形,且,都是正三角形,,
.
14．答案：
解析：，
所以，
故答案为：.
15．答案：
解析：由知解得.
所以.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
.
（2）.
（3）.
17．答案：原式
解析：原式
.
18．答案：1
解析：原式.
19．答案：
解析：，设，
，
故当时，有最小值，为.
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