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第6课时　空间向量的运算及其应用
[考试要求]　1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量及其有关定理
概念 语言描述
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________
共面向量 平行于____________的向量
共线向量 定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 存在实数λ，使_______
共面向量 定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________
2．空间向量的数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝_________________________．
3． 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝__________________
共线 a∥b a＝λb a1＝_____，a2＝_____，a3＝_____(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 __________________＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|＝＝__
夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝
4．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm，λ∈R
α⊥β n⊥m n·m＝0
[常用结论]
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点 ＝λ(λ≠0)．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　　)
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)． (　　)
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． (　　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)
A．α∥β　　　 B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．3　 　　B．2　　 　C．　 　　D．1
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　)
A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)
C．(0，1，－6) D．(0，2，10)
4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
考点一　空间向量的线性运算
[典例1]　(1)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2025·广东广州模拟)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，N为BC的中点，则＝(　　)
A．a＋b－c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b－c
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　空间向量线性运算中的三个关键点
[跟进训练]
1．(1)已知＝＝＝，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简＝________；
②用表示，则＝________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点二　空间向量数量积的应用
[典例2]　如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　空间向量数量积的应用
[跟进训练]
2．(1)(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(－1，2，1)，＝(－1，2，－1)，＝(2，3，－1)，则(　　)
A．||＝2
B．△ABC是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，点P为线段B1C上一点，则的最大值为________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点三　利用向量证明平行与垂直
[典例3]　如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．
(1)求证：OM∥平面BCF；
(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．利用向量法证明平行问题
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证明垂直问题
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第6课时　空间向量的运算及其应用
梳理·必备知识
1．互相平行或重合　同一个平面　a＝λb　p＝xa＋yb　p＝xa＋yb＋zc
2．|a||b|cos 〈a，b〉
3．a1b1＋a2b2＋a3b3　λb1　λb2　λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3　
4．(1)平行
激活·基本技能
一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
二、1．C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，
∴α，β相交但不垂直．]
2．C　[
＝x＋y＋z＝(x＋y)＋(y＋z)＋(z＋x)，
而，
所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，
所以x＋y＋z＝．故选C．]
3．BC　[依题意，点C在Oyz平面上，设C(0，y，z)，
由于AC＝BC，AC2＝BC2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，
整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，
所以BC选项正确．故选BC．]
4．　[∵P，A，B，C四点共面，∴＋t＝1，∴t＝．]
考点一
典例1　(1)D　(2)B　[(1)由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得，
所以解得所以x＋y＝5．
故选D．
(2)
＝
＝－
＝－．故选B．]
跟进训练
1．(1)C　(2)①　②
[(1)由P，A，B，C四点共面，可得共面，
设＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
则解得故选C．
(2)①＝．
②因为，
所以＋．]
考点二
典例2　解：(1)记＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝＝a＋b＋c，
∴2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴＝，即AC1的长为．
(2)证明：∵＝b－a，
∴＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0．
∴⊥，∴AC1⊥BD．
(3)＝a＋b，∴＝＝＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos 〈〉＝．
∴AC与BD1夹角的余弦值为．
跟进训练
2．(1)AC　(2)3　[(1)根据空间向量的线性运算，
＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，
∴＝＝2，A正确；
＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，
∴＝，
＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，
∴＝，
计算可得，△ABC三条边不相等，B错误；
与平行的单位向量为
e＝±＝±
＝±＝±，C正确；
在方向上的投影向量与向量共线，而(－1，2，1)与向量不共线，D错误，故选AC．
(2)以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1，D1，C，B1，
设＝m＝m(0，1，－)，
则＝＋m＝＋m(0，1，－)＝(0，m，m)，
＝＝－(，0，0)＝(－，m，m)，
则＝＝m2＋(m)2＝4m2－6m＋3＝4＋，
因为0≤m≤1，所以当m＝0时，取最大值，最大值为3．
考点三
典例3　证明：(1)由题意得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正方形的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O，所以＝＝(－1，0，0)，所以＝0，所以⊥．因为三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的一个法向量．又OM 平面BCF，所以OM∥平面BCF．
(2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，由 得
令x1＝1，得n1＝．
同理可得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD．
跟进训练
3．解：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a．
(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，
故＝(0，1，1)，＝．
因为＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此⊥，所以B1E⊥AD1．
(2)存在满足要求的点P，理由如下：
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a，0，1)，＝．
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
则平面B1AE的一个法向量n＝．
要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，
有－az0＝0，解得z0＝．
所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝．
1 / 7(共101张PPT)
第七章　
立体几何与空间向量
第6课时　空间向量的运算及其应用
[考试要求]　1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
链接教材·夯基固本
1．空间向量及其有关定理
概念 语言描述
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________
共面向量 平行于____________的向量
互相平行或重合
同一个平面
共线向量 定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 存在实数λ，使_______
共面向量 定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________
a＝λb
p＝xa＋yb
p＝xa＋yb＋zc
2．空间向量的数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝___________________．
3． 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
|a||b|cos 〈a，b〉
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝__________________
共线 a∥b a＝λb a1＝_____，a2＝_____，a3＝_____ (λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 __________________＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|＝＝______________
夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
λb1
λb2
λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3
4．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
平行
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm，λ∈R
α⊥β n⊥m n·m＝0
[常用结论]
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点 ＝λ(λ≠0)．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　　)
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)． (　　)
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． (　　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． (　　)
√
√
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)
A．α∥β　　　 B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．3　 　　B．2　　 　C．　 　　D．1
√
C　[＝x＋y＋z
＝x()＋y()＋z()
＝(x＋y)＋(y＋z)＋(z＋x)，
而＝，
所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，
所以x＋y＋z＝．故选C．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　)
A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)
C．(0，1，－6) D．(0，2，10)
√
√
BC　[依题意，点C在Oyz平面上，设C(0，y，z)，
由于AC＝BC，AC2＝BC2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，
整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC选项正确．故选BC．]
4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
　[∵P，A，B，C四点共面，∴＋t＝1，
∴t＝．]
　
考点一　空间向量的线性运算
[典例1]　(1)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
典例精研·核心考点
√
(2)(2025·广东广州模拟)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，N为BC的中点，则＝
(　　)
A．a＋b－c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b－c
√
(1)D　(2)B　[(1)由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得＝λ，
所以解得
所以x＋y＝5．
故选D．
(2)＝＝
＝
＝－
＝－a＋b＋c．
故选B．]
【教用·备选题】
(1)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝，若a∥b，则|b|＝(　　)
A．5　　 B．　　 C．4　　 D．
√
(2)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．＝a＋b＋c
B．＝a＋b＋c
C．＝－a＋b－c
D．＝b－c
√
(1)D　(2)A　[(1)由题意知＝＝，解得x＝－1，
即b＝，|b|＝＝．
故选D．
(2)因为＝＝a，＝b，＝c，
所以＝＝＝)＝b＋c－a，B错误；
＝＝＝－a＋b＋c，C错误；
＝)＝b＋c，D错误；
＝＝a＋b＋c＝a＋b＋c，A正确．故选A．]
名师点评　空间向量线性运算中的三个关键点
[跟进训练]
1．(1)已知＝＝＝，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
√
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简＝_________；
②用表示，则＝____________________．
　
(1)C　(2)①　②
[(1)由P，A，B，C四点共面，可得共面，
设＝x＋y＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
则
解得故选C．
(2)①＝)＝＝＝．
②因为＝＝)，
所以＝＝)＋＝．]
【教用·备选题】
以下四组向量在同一平面的是(　　)
A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)
B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)
C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)
D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)
√
B　[对于A，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以无解；
对于B，因为(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三个向量共面；
对于C，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以无解；
对于D，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以无解．故选B．]
考点二　空间向量数量积的应用
[典例2]　如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
解：(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的长为．
(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0．
∴⊥，∴AC1⊥BD．
(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos 〈〉＝＝．
∴AC与BD1夹角的余弦值为．
名师点评　空间向量数量积的应用
[跟进训练]
2．(1)(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(－1，2，1)，＝(－1，2，－1)，＝(2，3，－1)，则(　　)
A．||＝2
B．△ABC是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
√
√
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，点P为线段B1C上一点，则的最大值为________．
3
(1)AC　(2)3　[(1)根据空间向量的线性运算，
＝＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，
∴||＝＝2，A正确；
＝＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，
∴||＝＝，
＝＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，
∴||＝＝，
计算可得，△ABC三条边不相等，B错误；
与平行的单位向量为
e＝±＝±
＝±＝±，C正确；
在方向上的投影向量与向量共线，而＝(－1，2，1)与向量不共线，D错误，
故选AC．
(2)以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1，D1，C，B1，
设＝m＝m(0，1，－)，
则＝＋m＝＋m(0，1，－)＝(0，m，m)，
＝＝－(，0，0)＝(－，m，m)，
则＝＝m2＋(m)2＝4m2－6m＋3＝4＋，
因为0≤m≤1，所以当m＝0时，取最大值，最大值为3．
考点三　利用向量证明平行与垂直
[典例3]　如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．
(1)求证：OM∥平面BCF；
(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD．
[证明]　(1)由题意得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正方形的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O，所以＝＝(－1，0，0)，所以＝0，所以⊥．因为三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的一个法
向量．又OM 平面BCF，所以OM∥平面BCF．
(2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝＝(1，0，0)，
＝(0，－1，1)，由 得
令x1＝1，得n1＝．
同理可得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD．
【教用·备选题】
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD．
[证明]　(1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°．
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，
∴＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，
＝．
设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，
由即
令y＝2，则n＝(－，2，1)是平面PAD的一个法向量．
∵n·＝－＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥．又CM 平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
(2)法一：由(1)知＝(0，4，0)，＝(2，0，－2)，
设平面PAB的法向量为m＝(x0，y0，z0)，
由即
令x0＝1，则m＝(1，0，)是平面PAB的一个法向量．
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2，1)，
∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，
∴平面PAB⊥平面PAD．
法二：取AP的中点E，连接BE，
则E(，2，1)，＝(－，2，1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA．
∵＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA．
又PA∩DA＝A，DA，PA 平面PAD，∴BE⊥平面PAD．
∵BE 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
名师点评　1．利用向量法证明平行问题
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证明垂直问题
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
解：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a．
(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，
故＝(0，1，1)，＝．
因为＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此⊥，所以B1E⊥AD1．
(2)存在满足要求的点P，理由如下：
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a，0，1)，＝．
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
则平面B1AE的一个法向量n＝．
要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，
有－az0＝0，解得z0＝．
所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝．
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝(　　)
A． B．
C． D．
13
课后作业(四十四)　空间向量的运算及其应用
√
14
B　[连接AC，A1C，可得＝，又＝，
所以＝＝．故选B．]
题号
1
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11
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13
14
2．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，则＝(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
√
C　[由向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，可得解得x＝1，y＝－2，所以a＝，b＝，
则a＋b＝，所以＝3．故选C．]
题号
1
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13
14
3．(2025·湖北重点高中模拟)已知空间向量a＝，b＝，则向量a在向量b上的投影向量是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
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2
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13
14
√
B　[由已知可得，a·b＝6，＝3，
所以，向量a在向量b上的投影向量是＝b＝．故选B．]
题号
1
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13
14
4．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，在四面体A-BCD中，E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．－a＋b＋c B．a－b＋c
C．a－b＋c D．－a＋b＋c
题号
1
3
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4
6
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13
14
√
A　[连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝＝．
在△ABE中，＝，又＝a，
∴＝－a＋＝－a＋b＋c．
故选A．]
题号
1
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14
5．(2025·河北沧州模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，则＝(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．
题号
1
3
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2
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6
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12
13
14
√
B　[以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，
∴A，B，C，A1，E，F，
∴＝＝，∴
＝1×＋0×1＋×2＝1．故选B．]
题号
1
3
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13
14
6．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
题号
1
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14
√
C　[由于＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，则cos 120°＝＝－，解得λ＝±．经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
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14
7．(2024·上海高考)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是(　　)
A．∈Ω B．∈Ω
C．∈Ω D．∈Ω
题号
1
3
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2
4
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13
14
√
C　[由题意知三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
题号
1
3
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2
4
6
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13
14
对C，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由∈Ω能推出 Ω，故C正确；
对D，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量共面，
则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
8
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10
11
12
13
14
8．(教材改编)如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子M，N分别在对角线CA，BF上移动，且CM＝BN，则MN的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
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2
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13
14
√
B　[以BA所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C，B，F，设CM＝tCA，
题号
1
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13
14
则M，BN＝tBF，N，
则MN＝＝，y＝2t2－2t＋1在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当t＝时，MN取得最小值，为，当t＝0或t＝1时，MN取得最大值，为1，所以MN∈ ．故选B．]
题号
1
3
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12
13
14
二、多项选择题
9．已知空间向量a＝，b＝，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥b，则x＝
B．若3a＋b＝，则x＝1
C．若a在b上的投影向量为b，则x＝4
D．若a与b的夹角为锐角，则x∈
题号
1
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2
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13
14
√
√
√
ABD　[对于A，∵a⊥b，∴a·b＝0，
即a·b＝＝－8－2＋3x＝0，
解得x＝，故A选项正确；
对于B，∵3a＋b＝，
∴3a＋b＝3＝(2，－1，9＋x)＝(2，－1，10)，
∴9＋x＝10，解得x＝1，故B选项正确；
题号
1
3
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2
4
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13
14
对于C，a在b上的投影向量为，
即＝b，代入坐标化简可得x2－9x＋50＝0，x无解，故C选项错误；
对于D，∵a与b夹角为锐角，
∴a·b＝－10＋3x>0，解得x>，
且a与b不共线，即≠≠，解得x≠－6，
所以a与b的夹角为锐角时，x>，故D选项正确．
故选ABD．]
题号
1
3
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2
4
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11
12
13
14
10． 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
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12
13
14
√
√
√
ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
13
14
因为AB＝AD＝AA1＝，
所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，
则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)．
当＝2时，P为线段A1C的中点，则P，＝＝(1，，1)，则＝2，所以B1，D，P三点共线，A正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
14
设＝λ＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝＝(－λ，λ，1－λ)，
由⊥，可得＝5λ－1＝0，解得λ＝，
所以＝＝
＝(1，0，－1)＋＝，
所以＝－＝－≠0，
所以与不垂直，B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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12
13
14
当＝3时，
＝＝＝(0，，1)，＝(1，，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝z＝－，∴n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，
题号
1
3
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2
4
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13
14
又＝(－1，0，0)，
所以＝＝，
所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0，
所以⊥n，
因为D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
当＝5时，
＝＝，
所以＝＝，
题号
1
3
5
2
4
6
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14
所以＝－1×－1×＝0，＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
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2
4
6
8
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13
14
三、填空题
11．(2024·山东济南一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为________．
题号
1
3
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2
4
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14
　[如图，不妨设＝a，＝b，＝c，依题意，＝a，＝＝－＝c－a，
题号
1
3
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2
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12
13
14
＝＝b－a，
因为＝m＝mb，所以＝＝c－a＋mb．
又因为BN∥平面A1CM，所以必共面，即存在λ，μ∈R，使＝λ＋μ，即c－a＋mb＝λ＋μ，
从而有解得m＝．]
题号
1
3
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2
4
6
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12
13
14
12．(2025·河南信阳模拟)如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
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13
14
120°
120°　[设所求二面角为θ，由＝，得＝()2
＝＋＋＋2＋2＋2
＝32＋22＋42＋0－2×3×4cos θ＋0＝41，
∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
题号
1
3
5
2
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8
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13
14
四、解答题
13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与垂直，求向量a的坐标．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
14
解：(1)由题意可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以
cos 〈〉＝＝＝＝，所以sin 〈〉＝，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为
S＝2×||·||·sin 〈〉＝14×＝7．
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得
解得 或
所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
14．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使
BP∥平面DA1C1，若存在，求出点
P的位置，若不存在，请说明理由．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
解：(1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，
＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以⊥，即BD⊥AA1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．
设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
题号
1
3
5
2
4
6
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9
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11
12
13
14
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
则取n＝(1，0，－1)．
因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，
即n·＝－λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
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谢 谢！课后作业(四十四)　空间向量的运算及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝(　　)
A． B．
C． D．
2．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，则＝(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
3．(2025·湖北重点高中模拟)已知空间向量a＝，b＝，则向量a在向量b上的投影向量是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，在四面体A-BCD中，E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．－a＋b＋c B．a－b＋c
C．a－b＋c D．－a＋b＋c
5．(2025·河北沧州模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，则＝(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．
6．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
7．(2024·上海高考)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是(　　)
A．∈Ω B．∈Ω
C．∈Ω D．∈Ω
8．(教材改编)如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子M，N分别在对角线CA，BF上移动，且CM＝BN，则MN的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知空间向量a＝，b＝，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥b，则x＝
B．若3a＋b＝，则x＝1
C．若a在b上的投影向量为b，则x＝4
D．若a与b的夹角为锐角，则x∈
10． 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题
11．(2024·山东济南一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为________．
12．(2025·河南信阳模拟)如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为________．
四、解答题
13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与垂直，求向量a的坐标．
14．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
课后作业(四十四)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[连接AC，A1C，可得＝，又＝，
所以＝＝．故选B．]
2．C　[由向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，可得解得x＝1，y＝－2，所以a＝，b＝，
则a＋b＝，所以＝3．故选C．]
3．B　[由已知可得，a·b＝6，＝3，
所以，向量a在向量b上的投影向量是＝b＝．故选B．]
4．A　[连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝＝．
在△ABE中，＝，又＝a，
∴＝－a＋＝－a＋b＋c．
故选A．]
5．B　[以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，
∴A，B，C，A1，E，F，
∴＝＝，∴＝1×＋0×1＋×2＝1．故选B．]
6．C　[由于＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，则cos 120°＝＝－，解得λ＝±．经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－．故选C．]
7．C　[由题意知三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
对C，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由∈Ω能推出 Ω，故C正确；
对D，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量共面，
则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．故选C．]
8．B　[以BA所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C，B，F，设CM＝tCA，
则M，BN＝tBF，N，
则MN＝＝，y＝2t2－2t＋1在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当t＝时，MN取得最小值，为，当t＝0或t＝1时，MN取得最大值，为1，所以MN∈ ．故选B．]
9．ABD　[对于A，∵a⊥b，∴a·b＝0，
即a·b＝＝－8－2＋3x＝0，
解得x＝，故A选项正确；
对于B，∵3a＋b＝，
∴3a＋b＝3＝(2，－1，9＋x)＝(2，－1，10)，
∴9＋x＝10，解得x＝1，故B选项正确；
对于C，a在b上的投影向量为，
即＝b，代入坐标化简可得x2－9x＋50＝0，x无解，故C选项错误；
对于D，∵a与b夹角为锐角，
∴a·b＝－10＋3x>0，解得x>，
且a与b不共线，即≠≠，解得x≠－6，
所以a与b的夹角为锐角时，x>，故D选项正确．
故选ABD．]
10． ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝AD＝AA1＝，
所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，
则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)．
当＝2时，P为线段A1C的中点，则P，＝＝(1，，1)，则＝2，所以B1，D，P三点共线，A正确；
设＝λ＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝＝(－λ，λ，1－λ)，
由⊥，可得＝5λ－1＝0，解得λ＝，
所以＝＝
＝(1，0，－1)＋＝，
所以＝－＝－≠0，
所以与不垂直，B错误；
当＝3时，
＝＝＝(0，，1)，＝(1，，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝z＝－，∴n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，
又＝(－1，0，0)，
所以＝＝，
所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0，
所以⊥n，
因为D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
当＝5时，
＝＝，
所以＝＝，
所以＝－1×－1×＝0，＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．
故选ACD．]
11． 　[如图，不妨设＝a，＝b，＝c，依题意，＝a，＝＝－＝c－a，
＝＝b－a，
因为＝m＝mb，所以＝＝c－a＋mb．
又因为BN∥平面A1CM，所以必共面，即存在λ，μ∈R，使＝λ＋μ，即c－a＋mb＝λ＋μ，
从而有解得m＝．]
12．120°　[设所求二面角为θ，由＝，得＝()2
＝＋＋＋2＋2＋2
＝32＋22＋42＋0－2×3×4cos θ＋0＝41，
∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
13．解：(1)由题意可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以cos 〈〉＝＝＝＝，所以sin 〈〉＝，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为
S＝2×||·||·sin 〈〉＝14×＝7．
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得
解得 或
所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
[B组　在综合中考查关键能力]
14．解：(1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以⊥，即BD⊥AA1．
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．
设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
则取n＝(1，0，－1)．
因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，
即n·＝－λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
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