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应用题
四调考点：利润、最值、取值范围、双变量
四调针对训练
类型一 利润问题(一)取值范围
1.【问题背景】2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光.每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食.某餐饮店主打莲藕汤，其成本为5元/份，当售价为25元/份时，平均每天可以卖出120份.经市场调研发现：售价每上涨1元/份，每天要少卖出5份；售价每下降1元/份，每天可多卖出10份.
【问题解决】(1)若涨价4元/份，则平均每天的销售量为 份；若设降价x元/份，则平均每天的销售量为 份(用含x的代数式表示)；
(2)“元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高
(3)若涨价销售，该餐饮店使每天的销售量不低于110份，所获利润不低于2415元 直接写出上涨价格 m(元/份)的取值范围.
2.“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键.已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件， 满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件) 12 14 16
y(件) 1200 1000 800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件.
①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大 并求出此时的最大利润；
②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围.
类型二 利润问题(二)双变量函数
3.某商店购进甲、乙两种商品共10件，甲产品进价为200元/件，乙产品的进价为300元/件，销售发现，甲产品的售价y(元)与销量x(件)的关系式为 ，乙产品的售价m(元)与销量n(件)的关系为m=-20n+600.
(1)设购进甲商品x件，若购进的甲、乙产品均全部销售完，用含x的代数式表示下列各量：
①该商店购买乙产品有 件；
②销售甲产品所获得的总利润为 元；
③销售乙产品所获得的总利润为 元；
(2)若甲乙两种商品全部销售完的总利润为1630元，且甲商品所购买的数量不少于乙所购买的数量，求甲、乙两种商品各购进多少件
(3)直接写出两种商品获得总利润的最大值.
类型三 利润问题(三)顶点最值
4.某商店在销售一种产品的过程中发现：销售这种产品的成本Q(单位：元)与销售件数y(单位：件)成正比例，同时每天的销售件数y与销售价格x(单位：元/件)之间满足一次函数关系.下表记录了该商店某4天销售这种产品的一些数据.
销售价格x(单位：元/件) 10 15 18 20
销售件数y(单位：件) 30 25 22 20
成本Q(单位：元) 360 300 264 240
(1)①每天的销售件数y与销售价格x之间的关系式为 ；
②销售这种产品的成本Q与销售价格x之间的关系式为 ；
(2)若某天销售这种产品所获得的利润为180元，求这天销售该产品的件数(销售利润=销售额--成本)；
(3)当销售价格x为多少时，每天销售这种产品所获得的利润最大 最大利润是多少
类型四 利润问题(四)区间最值
5.某商场要经营一种新上市的文具，进价为10元/件.试营销阶段发现：当销售单价是15元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润v (元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)商场的营销部门结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过20元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为18元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
中考补充训练
类型五 面积问题
6.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60m)，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位)
(1)设自行车车棚面积为 S m ，车棚宽度AB为 x m，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)若车棚面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少 请通过计算说明.
7.某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形)，空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24 m.设绿化区较长边为x m，活动区的面积为
(1)直接写出：
①每一个出口的宽度为 m，绿化区较短边长为 m(用含x的式子表示)；
②y与x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ；
(2)当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大 最大面积是多少
(3)预计活动区造价为50元/m .若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x为整数时，共有几种建造方案
类型六 抛物线形问题(一)实物型
8.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6 dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立平面直角坐标系如图所示，如果把锅纵截面的抛物线记为 ，把锅盖纵截面的抛物线记为(
(1)求 和 的解析式；
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1 dm，求此时水面的直径；
(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3.2d m的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上 请说明理由.
9.如图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数 的图象,支柱AO=1.6m,最外端点 B 的坐标为(6,2.68).若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD=4m，高 的矩形.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)判断此纯电货车能否完全停到车棚内，并说明理由；
(3)为确保在车棚内能容纳长5m，高2.5m 的车辆进入充电，现对该车棚进行改造.受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA 的方式进行改造，则抬起的高度至少需要大于多少米
类型七 抛物线形问题(二)路径型
10.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点 处.小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点 B 处有一棵树，B是OA 的三等分点且靠近点O，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度.
11.小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动.如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L： 的一部分，并在点 B 处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动.已知抛物线G 与抛物线L 的形状相同，且其达到的最大高度为1.
(1)直接写出点 C 的坐标；
(2)求抛物线G 的解析式(不用写出自变量的取值范围)；
(3)在x轴上有一个矩形接球筐 PQMN,其中 MN=1,点 N 位于点(6.5,0.5)处,弹力球只能通过矩形接球筐的边MN落入框内.为使弹力球落入接球筐内(落在点 M，N上也视为落在筐内)，需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围.(结果保留根号)
12掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m 处.
(1)求抛物线的解析式；
(2)根据中招体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于7.80m，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由；
(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩.当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分.

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