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(共27张PPT)
当一次试验要涉及两个因素,并且可能的结果较多时,为了列出所有可能的结果,通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况，即 n
在所有可能情况 n 中，再找到满足条件的事件的个数 m，最后代入公式计算.
当一次试验中涉及 3 个因素或更多的因素时,怎么办
一、列表法
列表法中表格构造特点:
要点梳理
当一次试验中涉及 2 个因素或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状图”.
树状图的画法：
一个试验
第一个因素
第二个
第三个
如一个试验中涉及 2个或 3 个因素，第一个因素中有 2 种可能情况；第二个因素中有 3 种可能的情况；第三个因素中有 2 种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n = 2×3×2=12
二、树状图法
我们知道，任意抛一枚均匀的硬币，“正面朝上”的概率是 0.5，许多科学家曾做过成千上万次的实验，其中部分结果如下表：
抛掷次数（n） 2048 4040 12000 24000 30000
正面朝上次（m） 1061 2048 6019 12012 14984
频率（ ） 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996
同一条件下，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 稳定于某个常数 P，那么事件 A 发生的概率为 P(A) = p.
三、用频率估计概率
考点一 用列举法求概率
例1 如图，电路图上有四个开关 A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
A
考点讲练
例2 如图所示，有 3 张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的 k ，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的 b．
(1) 写出 k 为负数的概率；
(2) 求一次函数 y = kx + b 的图象
经过二、三、四象限的概率.
解：(1) P ( k 为负数 ) = .
【解析】(1) 因为 －1，－2，3 中有两个负数，故 k 为负数的概率为 ；
(2)由于当一次函数 y = kx + b 的图象经过二、三、四象限时， k，b 均为负数，
所以在画树状图列举出 k、b 取值的所有情况后，从中找出所有 k、b 均为负数的情况，即可得出答案．
(2)画树状图如右：
由树状图可知，k、b 的取值共有 6 种情况，
其中 k＜0 且 b＜0 的情况有 2 种，
记一次函数 y = kx + b 的图象经过第二、三、四象限为事件 A，
∴P (A) = .
开始
第一次
第二次
-1
-2
3
-2
3
-1
3
-2
-1
1. 一个袋中装有 2 个黑球 3 个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　)
A. B. C. D.
A
针对训练
例3 在某电视台唱歌选秀冠军总决赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论.
（1）写出三位评委给 A 选手的所有可能的结果；
（2）对于选手 A，只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？
考点二 用树状图或表格求概率
解：（1）画出树状图来说明三位评委给出 A 选手的所有可能结果：
通过
通过
待定
通过
待定
通过
待定
甲
乙
丙
待定
通过
待定
通过
待定
通过
待定
（2）由上图可知三位评委给 A 选手的所有可能的结果共有 8 种.
对于选手 A，“只有甲、乙两位评委给出相同结果”有2 种，即“通过-通过-待定” “待定-待定-通过”，所以“对于选手 A，只有甲、乙两位评委给出相同结果”的概率是 .
（2）对于选手 A，只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？
这个游戏对小亮和小明公平吗？
例4 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌，分别是红桃和黑桃的 1，2，3，4，5，6，小明建议：我从红桃中抽取一张牌，你从黑桃中取一张，当两张牌数字之积为奇数时，你得 1 分，为偶数我得 1 分，先得到 10 分的获胜”.如果你是小亮，你愿意接受这个游戏的规则吗？为什么？
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
红
桃
黑桃
解：这个游戏不公平，理由如下： 列表：
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表中可以看出，在两堆牌中分别取一张，它可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等.
因为 P(A) < P(B)，所以如果我是小亮，我不愿意接受这个游戏的规则.
满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件 A)
的有 9 种情况，所以
满足两张牌的数字之积为偶数(记为事件 B)
的有 27 种情况，所以
用画树状图或表格是求概率的常用方法：
1.当事件要经过多个步骤完成时，用画树状图求事件的概率更有效；
2.当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表分析所有等可能的结果；当结果要进行数的和、积等有关运算时，用列表法显得更加清晰、明确.
方法总结
2.如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，
分别计算它落到红色部分的概率.
图①
图②
解：图①中，P (黄豆落到红色部分) =
图②中，设圆的半径为 a，
则 P (黄豆落到红色部分)
=
考点三 用频率估计概率
例5 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
例6 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15％ 和 45％，则口袋中白色球的个数最有可能是（ ）
A. 24 个 B. 18 个 C. 16 个 D. 6 个
C
3.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为_____．
解析：设口袋中球的总个数为 x，
则摸到红球的概率为 ，
所以 x = 15．
针对训练
15
考点四 用概率作决策
例6 在一个不透明的口袋里装有分别标注 2、4、6 的 3 个小球(小球除数字外，其余都相同)，另有 3 张背面完全一样，正面分别写有数字 6、7、8 的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
(1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；
解：(1) 列表如下：
6 7 8
2 (6，2) (7，2) (8，2)
4 (6，4) (7，4) (8，4)
6 (6，6) (7，6) (8，6)
卡片
小球
共有 9 种等可能结果；
(2)小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：
规则 1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小
红赢；否则，小莉赢；
规则 2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍
时，小红赢；否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.
规则 1：P (小红赢) = ；规则 2：P (小红赢) =
∵ ， ∴小红选择规则 1.
4. A、B 两个小型超市举行有奖促销活动，
顾客每购满 20 元就有一次按下面规则转动转盘的获奖机会，且两超市奖额等同.规则是：
①A 超市把转盘甲等分成 4 个扇形区域、B 超市把转盘
乙等分成 3 个扇形区域，并标上了数字 (如图所示)；
②顾客转动转盘两次，第一次与第二次分别停止后指针所指数字之和为奇数时
就获奖(若指针停在等分线上，
那么重转一次，直到指针指向
某一份为止).
1
1
2
2
3
3
4
甲
乙
针对训练
解：列表格如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
第一次
第二次
A 超市
共有 16 种结果，其中中奖的有 8 种；
∴P (A) =
(1) 利用树状图或列表分别求出顾客在 A、B 两超市转
盘获奖的概率；
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
第一次
第二次
∴P (B) =
共有 9 种等可能结果，其中中奖的有 4 种；
B 超市
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？
说明理由.
解：选 A 超市.理由如下：
∵P(A) ＞ P(B) ，
∴选 A 超市.
概率的进一步认识
简单的随机事件
复杂的随机事件
具有等可能性
不具有等可能性
树状图
列表
试验法
摸拟试验
理论计算
试验估算
概率定义
课堂小结

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