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2027届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（北师大版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列选项中，与角的终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在锐角三角形ABC中，，，的面积为，若，则（ ）
A．4 B． C． D．5
6．已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，点M满足，直线BM交AC于点D，则（ ）
A． B． C． D．
8．音叉发出的纯音振动的数学模型是函数，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音振动的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上，的最小值为
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．在区间上单调递增
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数，i为虚数单位，为z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若z是纯虚数，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
11．已知，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若与共线，则
C．在方向上的投影向量为 D．若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则________．
13．已知，，，则________．
14．已知，，则________，的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数，i为虚数单位．
（1）若复数z的实部与的虚部相等，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围；
（3）当时，若复数z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．
16．（15分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）若将的图象上的每个点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，求的值．
17．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积．
18．（17分）已知向量，，函数．
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，都有解，求实数a的取值范围；
（3）设，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）对于向量，，，均为非零向量，定义运算．
（1）对于非零向量，，，，一定成立吗？并给出理由；
（2）已知为非零向量，若向量与向量共线，向量与向量垂直，求；
（3）已知向量，向量，，且，，求的取值范围．
2027届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（北师大版）参考答案
1．D【解析】因为，与终边相同的角的集合为，因为．
故选D．
2．A【解析】．
故选A．
3．C【解析】因为角的终边过点，由三角函数的定义可得，，所以．
故选C．
4．C【解析】由题意得，，故，解得．
故选C．
5．B【解析】由，得，
∵为锐角，∴，
∵，
∴．
故选B．
6．A【解析】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得，因此，，当时，，，故，．由可得，由函数的最大值为3可得，因此，由，得，所以．
故选A．
7．A【解析】如图，
设，，则，又，所以，解得，所以，所以．
故选A．
8．B【解析】因为
，
在区间上，，，最小值为4，故A错误；
．所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
令，，故C错误；
由，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上先单调递减，再单调递增．故D错误．
故选B．
9．BC【解析】对于A，因为，，所以，故A错误；
对于B，因为，所以函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为为偶函数，所以，所以最小正周期为，故D错误．
故选BC．
10．BCD【解析】因为，
对于选项A，若z是纯虚数，则，解得，故A错误；
对于选项B，若，则，解得，故B正确；
对于选项C，若，则，，故C正确；
对于选项D，若，可知z是实数，所以，可知或，故D正确．
故选BCD．
11．ABD【解析】对于A，由可得，所以，得，又，，，得，所以，故A正确；
对于B，因为，所以与不共线，因为，所以，因为与共线，则，故B正确；
对于C，在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D，，当且仅当时，取得最小值，最小值为，故D正确．
故选ABD．
12．3【解析】因为，，所以．
13．【解析】由，得，因为，所以，即，得，所以．
14．1，2（第1个空2分，第2个空3分）【解析】因为，所以
，
所以，于是有．
又
，当且仅当，即时取等号，所以
的最小值是2．
15．解：（1）由题意得，解得．（3分）
（2）因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，（6分）
解得．
所以实数m的取值范围为．（8分）
（3）因为复数是关于x的方程的一个根，所以，（11分）
所以，解得，（12分）
．（13分）
16．解：（1）由图象可知周期，所以，（1分）
由，，所以，，因为，所以，（2分）
所以，由，得，（3分）
所以．（4分）
（2）令，解得，（6分）
∴的单调递增区间为，无单调递减区间．（9分）
（3）由题意得，（12分）
所以，得，（13分）
所以．（15分）
17．解：（1）因为，（4分）
所以，得，（6分）
因为，所以．（7分）
（2）设外接圆的半径为r，由，得，（8分）
又因为，（9分）
所以，（10分）
，得，（13分）
所以的面积为．（15分）
18．解：（1），（3分）
故的最小值为．（4分）
（2）令，有解，即有解，（5分）
因为时，，（6分）
所以，故，（7分）
因为，故当时，取最小值；当时，取最大值3，（8分）
所以，（9分）
因为有解，所以实数a的取值范围为．（10分）
（3）对任意的，总存在，使成立，所以，（12分）
由（1）得，所以，（13分）
因为，当时，；当时，，
所以或，解得或，故实数m的取值范围为或．（17分）
19．解：（1）不一定成立，（1分）
一定成立．（2分）
理由如下：设向量，，，则，，所以不一定成立．（3分）
因为，所以，（4分）
，
所以．（5分）
（2）设，则，由与共线，得．（6分）
由题意得，（8分）
因为与垂直，所以，（9分）
又，得，所以，所以．（10分）
（3），，（11分）
当时，因为，，两式相减得，所以，得；
又由，得；
同理，所以；
，所以，
，所以；
，所以；
，所以，（13分）
又，所以，（14分）
故，，所以
，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故的取值范围为．（17分）

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