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7．2　离散型随机变量及其分布列
7．2.1　离散型随机变量及其分布列(1)
一、 单项选择题
1 下面给出四个随机变量：
①一天之内的温度ξ；
②一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用η表示射手在一次射击中的得分；
③某指挥台5 min内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
2 (2024德州月考)如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为随机变量X，则P(X≤1)等于(　　)
A. B.
C. D.
3 袋中有大小相同的5张卡片，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽样的条件下依次取出2张卡片，设2张卡片上的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　)
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4 (2024沧州期末)设随机变量X的分布列P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P(X≥4)等于(　　)
A. B. C. D.
5 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用随机变量ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局
C. 甲、乙平局三次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
6 (2024玉溪期中)随机变量ξ的分布列如下表所示，若a，b，c构成等差数列，则P(ξ＝0)等于(　　)
ξ －1 0 1
P a b c
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 下列随机变量中，服从两点分布的是(　　)
A. 抛掷一枚骰子，所得点数X
B. 某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C. 从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X＝1}＝“取出白球”，{X＝0}＝“取出红球”
D. 某医生做一次手术，手术成功的次数X
8 (2024福建三明一中月考)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1
B. a＝
C. P(0≤X<2)＝
D. P(X≥1)＝
三、 填空题
9 (2024西安月考)某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下表所示．
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数f(x)＝x2－13x＋1在区间[ξ，＋∞)上单调递增”为事件A，则事件A的概率是________．
10 一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨号的次数为X，则随机变量X的可能取值有________个．
11 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码．当ξ＝6时，有________种结果，ξ的所有试验结果有________种.
四、 解答题
12 (2024盐城期末)盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.
(1) 求P(X＝1)；
(2) 求X的分布列．
13 (2024吉安期末)将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为1，2，3，4，且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为X.
(1) 求编号为2的排球筐内有球的概率；
(2) 求X的分布列．
7．2.2　离散型随机变量及其分布列(2)
一、 单项选择题
1 若随机变量X的分布列如下表所示，则m的值为(　　)
X 1 2 3 4
P m
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 1
2 (2024邢台期末)若随机变量ξ的分布列如下表所示，其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)等于(　　)
ξ －1 0 1
P a b c
A. B. C. D.
3 公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号大于5的概率是(　　)
A. B. C. D.
4 (2024湖北云学名校联盟月考)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，4，则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024上海徐汇开学考试)某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)＝则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　)
A. B. C. D.
6 已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)
A. (0，) B. [－，]
C. (－3，3) D. (0，1)
二、 多项选择题
7 下列表中不能成为随机变量ξ的分布列的是(　　)
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
A
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
B
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
C
ξ 1 2 3
P 0.3 0.1 0.4
D
8 (2024如皋期中)一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球，2个白球，2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量ξ，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(ξ＝0)＝ B. P(ξ＝1)＝
C. P(ξ＝1)＝ D. P(ξ＝2)＝
三、 填空题
9 一批产品分为一、二、三级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________．
10 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
11 (2024无锡期中)若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X四、 解答题
12 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
13 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．
(1) 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2) 求随机变量X的分布列．
7．2　离散型随机变量及其分布列
7．2.1　离散型随机变量及其分布列(1)
1. C　对于①，一天内的温度不能一一列出，故①不是离散型随机变量；对于②，η的可能取值为0，1，故②是离散型随机变量；对于③，5 min 内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量．综上，是离散型随机变量的为②③.
2. A　由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
3. B　号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
4. A　由题意，得P(X＝k)＝＝＝(－).因为P(X＝k)＝1，所以×(1－＋－＋－＋－＋－)＝＝1，解得m＝，所以P(X≥4)＝×(－＋－)＝.
5. D　甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
6. C　因为a，b，c构成等差数列，所以a＋c＝2b.又a＋b＋c＝1，所以3b＝1，解得b＝，所以P(ξ＝0)＝.
7. CD　两点分布又叫0－1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0和1，C，D满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，故A不满足题意；某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，故B不满足题意．故选CD.
8. ABC　由题意，得随机变量X的分布列为P(X＝n)＝，则P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，所以P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.故选ABC.
9. 0.88　因为函数f(x)＝x2－13x＋1在区间[ξ，＋∞)上单调递增，所以ξ≥＝6.5，结合ξ的分布列，得P(A)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
10. 24　由题意，得后3个数是从6，7，8，9这4个数中取3个组成的，共有A＝24(个).
11. 10　20　从6个篮球中选出3个篮球，当ξ＝3时，有1种取法；当ξ＝4时，有C＝3(种)取法；当ξ＝5时，有C＝6(种)取法；当ξ＝6时，有C＝10(种)取法，所以ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20(种).
12. (1) X＝1表示“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”，
所以P(X＝1)＝＝.
(2) 由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
13. (1) 设“编号为2的排球筐内有球”为事件A，
则P(A)＝1－＝.
(2) 由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
7．2.2　离散型随机变量及其分布列(2)
1. A　因为随机变量X的所有概率之和为1，所以＋m＋＋＝1，解得m＝.
2. D　由题意，得解得则P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝a＋c＝.
3. B　设任取1盆的编号为随机变量X，则X的所有可能取值为0，1，2，…，9，且P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝9)＝，所以P(X>5)＝P(X＝6)＋P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＝＝.
4. C　由题意，得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝m(＋＋＋)＝1，解得m＝.
5. B　由题意，得p(0)＋p(1)＋p(2)＋p(3)＋p(4)＝1，即p(0)[1＋＋＋＋]＝p(0)＝1，解得p(0)＝，所以该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
6. B　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得a＝.由解得－≤d≤，所以该等差数列公差的取值范围是.
7. ABD　由概率分布列的性质可知，所有概率之和为1，各个概率不小于0，故A，B，D不能成为随机变量ξ的分布列．故选ABD.
8. CD　对于A，ξ＝0，分为第一次取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，故P(ξ＝0)＝＋×＋××＝，故A错误；对于B，C，ξ＝1，分为第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故P(ξ＝1)＝×＋2×××＋3××××＝，故B错误，C正确；对于D，ξ的所有可能取值为0，1，2，故P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝，故D正确．故选CD.
9. 　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以P＝P(ξ＝1)＝.
10. 　设10个球中有白球m个．由题意，得＝，解得m＝5或m＝14(舍去)，所以P(X＝2)＝＝.
11. (0，1]　由分布列，得P(X<0)＝P(X＝－2)＋P(X＝－1)＝0.3<0.5，P(X<1)＝P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＝0.5.因为P(X12. 由题意，得X的所有可能取值为0，1，
则P(X＝1)＝＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝，
所以X的分布列为
X 0 1
P
13. (1) 记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，
所以P()＝＝，
所以P(A)＝1－＝.
故取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.
(2) 由题意可知X的所有可能取值为2，3，4，5，
则P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝＝，P(X＝5)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P

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