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7．3.2　离散型随机变量的方差
一、 单项选择题
1 某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用ξ表示他投篮3次的进球数，则随机变量ξ的标准差的值为(　　)
A. B. C. D.
2 (2024海州高级中学期中)已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
且Y＝aX＋b，E(Y)＝，则D(Y)的值为(　　)
A. 1 B. C. D.
3 (2024北京日坛中学月考)设0ξ 0 1 2
P
A. 减小 B. 增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
4 已知随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值为(　　)
ξ －1 0 1
P a b
A. B. C. 1 D.
5 (2024徐州期中)不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n＝2时取出黑球的数目，η表示当n＝3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是(　　)
A. E(ξ)B. E(ξ)>E(η)，D(ξ)C. E(ξ)D(η)
D. E(ξ)>E(η)，D(ξ)>D(η)
6 已知随机变量X的分布列如下表，当a变化时，下列说法中正确的是(　　)
X 0 1 2 3
P －a a
A. E(X)，D(X)均随着a的增大而增大
B. E(X)，D(X)均随着a的增大而减小
C. E(X)随着a的增大而增大，D(X)随着a的增大而减小
D. E(X)随着a的增大而减小，D(X)随着a的增大而增大
二、 多项选择题
7 (2024聊城期中)有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位长度；若是偶数点向上，则向右移动一个单位长度，则扔出n次骰子后，下列结论中正确的是(　　)
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点O的概率为
B. 第一次扔完骰子小球位于－1且第五次位于1的概率为
C. 设三次后小球的坐标为随机变量X，则D(X)＝3
D. 设n次后小球的坐标为随机变量Y，则E(Y)＝0
8 已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的数学期望和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是(　　)
A. P4＝2P2 B. P(3≤X≤5)＝
C. E(X)＝4 D. D(X)＝
三、 填空题
9 (2024湖州中学月考)已知随机变量ξ的取值为i(i＝0，1，2)，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(2ξ－3)＝________．
10 甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出1个球，设摸出的白球的个数为X，则D(X)＝________．
11 (2023日照实验高级中学月考)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为________．
四、 解答题
12 (2024东莞七校联考)某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P(X＝20)＝0.3，期望E(X)＝30；
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3.
(1) 请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；
(2) 请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
13 (2024扬州期中)元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目．
(1) 求该同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2) 记X为该同学摸球后表演节目的个数，求该随机变量X的分布列、数学期望和方差．
7．3.2　离散型随机变量的方差
1. D　由题意，得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C×＝，所以E(ξ)＝，所以D(ξ)＝，故标准差＝.
2. D　由a＋＋＝1，得a＝，所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝×＋×＋×＝，所以D(Y)＝a2·D(X)＝×＝.
3. B　由题意，得E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.因为y＝x在R上单调递增，所以D(ξ)在区间(0，1)上单调递增，即当p在(0，1)内增大时，D(ξ)也增大．
4. B　由题意，得E(ξ)＝－1×＋0×a＋1×b＝，解得b＝.由随机变量ξ的分布列的性质，得＋a＋b＝1，得a＝1－－＝，所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
5. A　由题意，得当n＝2时，ξ的可能取值为1，2，则 P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＝，D(ξ)＝×＋×＝；当n＝3时，η的可能取值为1，2，3，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝，所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝2，D(η)＝1×＋0×＋1×＝，所以E(ξ)6. A　由分布列，得E(X)＝0×＋1×＋2a＋3×＝1＋a，D(X)＝(0－a－1)2＋(1－a－1)2＋a(2－a－1)2＋(3－a－1)2＝(a＋1)2＋a2＋a(1－a)2＋(2－a)2＝－a2＋a＋1.由概率的性质，得即0≤a≤.又E(X)＝1＋a随着a的增大而增大，D(X)＝－a2＋a＋1＝－＋在区间上单调递增，所以E(X)，D(X)均随着a的增大而增大．
7. ACD　扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率也为.对于A，若两次运动后，小球位于原点，则小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，故其概率为C＝，故A正确；对于B，第一次扔完骰子小球位于－1，即第一次向左移动，且第五次位于1，则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为C＝，故B错误；对于C，X的可能取值为－3，－1，1，3，则P(X＝－3)＝C＝，P(X＝－1)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，故其期望E(X)＝(－3)×＋(－1)×＋1×＋3×＝0，所以D(X)＝(－3)2×＋(－1)2×＋12×＋32×＝3，故C正确；对于D，Y的可能取值为－n，－(n－2)，…，n－2，n，则P(Y＝－n)＝P(Y＝n)，P(Y＝－n＋2)＝P(Y＝n－2)，…，故其期望E(Y)＝－n×P(Y＝－n)＋n×P(Y＝n)＋(－n＋2)×P(Y＝－n＋2)＋(n－2)×P(Y＝n－2)＋…＝0，故D正确．故选ACD.
8. BCD　因为A＝B＝{1，2，3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的值可以为2，3，4，5，6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.对于A，P(X＝4)＝3P(X＝2)，故A不正确；对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，故B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，故D正确．故选BCD.
9. 　因为随机变量ξ的取值为i(i＝0，1，2)，且P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，所以解得P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，则D(2ξ－3)＝22D(ξ)＝.
10. 　由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＋＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，所以D(X)＝×＋×＋×＝.
11. 　由题意，得乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝，故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.
12. (1) 设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b，
由题意，得a＋b＋0.3＝1①，E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30②，
由①②解得a＝0.1，b＝0.6，所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180.
(2) 由题意，得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20，
D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60.
由E(X)>E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大，又D(X)>D(Y)，说明平台广告投放的风险较高．综上，如果公司期望高收益，那么选择平台广告；如果公司期望收益稳定，那么选择传统广告．
13. (1) 设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝＝.
故同学摸球三次后停止摸球的概率为.
(2) 由题意，得X的可能取值为0，1，2，3，4.
因为P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.

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