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7．4.2　超几何分布
一、 单项选择题
1 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于(　　)
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
2 从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出 3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3 一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为随机变量X，男生的人数为随机变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
4 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)的值为(　　)
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
5 老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵，规定要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是(　　)
A. B. C. D.
6 (2024泰州期末)已知20道试题中有8道选择题，甲无放回地依次从中抽取5道题，乙有放回地依次从中抽取5道题，甲、乙每次均抽取一道试题，抽出的5道题中选择题的道数分别为ξ1，ξ2，且ξ1，ξ2的期望分别为E(ξ1)，E(ξ2)，方差分别为D(ξ1)，D(ξ2)，则下列说法中正确的是(　　)
A. E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)B. E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C. E(ξ1)D. E(ξ1)D(ξ2)
二、 多项选择题
7 (2024吉林模拟预测)从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则下列说法中正确的有(　　)
A. 抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有CC种
B. 抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1－
C. 抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1－
D. 抽出的产品中次品数的数学期望为
8 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示．若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则下列结论中正确的是(　　)
A. X的取值范围为{0，1，2，3}
B. P(X＝0)＝
C. P(X＝1)＝
D. E(X)＝
三、 填空题
9 (2023辽宁期末)某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则P(X≥3)＝________．
10 (2024石家庄期中)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为________．
11 一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中的白球个数为________；若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
四、 解答题
12 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，若输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%.
(1) 在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
(2) 设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．
13 某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．
(1) 若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2) 在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当p1＋p2＝时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．
7．4.2　超几何分布
1. C　ξ的所有可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.
2. A　由题意，得随机取出3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率为＝.
3. C　因为P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝.
4. B　由题意，得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
5. D　记抽到他会背诵的课文的数量为X，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，得X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以他能够及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
6. A　由题意，得ξ1的可能取值为0，1，2，3，4，5，ξ2的可能取值为0，1，2，3，4，5，随机变量ξ1服从超几何分布，随机变量ξ2服从二项分布，因为n＝5，N＝20，M＝8，所以根据超几何分布的均值，方差公式得E(ξ1)＝＝＝2，D(ξ1)＝＝××＝.根据二项分布的均值，方差公式得n＝5，p＝＝，即E(ξ2)＝np＝5×＝2，D(ξ2)＝np(1－p)＝5××＝，所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)7. ACD　由题意，得若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件次品，则合格品的取法有C种，不合格品的取法有C种，所以恰好有1件是次品的取法有CC种取法，故A正确；因为在100件产品中抽出3件，有C种取法，其中有2件是次品的取法有CC种，所以抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有C－CC种取法，所以抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1－，故B不正确；在100件产品中抽出3件，有C种取法，其中全部为合格品的取法有C种，则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有C－C种取法，所以抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1－，故C正确；抽出的产品中次品数X服从超几何分布，数学期望为n×＝3×＝，故D正确．故选ACD.
8. BC　由题意，得X的取值范围为{0，1，2}，故A错误；因为了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故B，C正确，D错误．故选BC.
9. 　由题意，得P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
10. 　记“中奖”为事件A，则P(A)＝＝，所以中奖的概率为.
11. 5　　由题意，设白球个数为x，至少得到1个白球的概率是，则不含白球的概率为，可得＝，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5或x＝14(舍去)，所以E(ξ)＝＝＝.
12. (1) 由题意，得ξ的所有可能取值为2，3，4，且ξ服从超几何分布，
则P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
(2) 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件C，
由已知，得P(C)＝0.8，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
则由全概率公式，得P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8，解得p＝0.25.
13. (1) 由题意，得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2) 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为X，则X～B(2，p1)，
设乙答对题数为η，则η～B(2，p2)，设事件A＝“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，则P(A)＝P(X＝1)P(η＝2)＋P(X＝2)P(η＝1)＋P(X＝2)P(η＝2)＝Cp1(1－p1)Cp＋CpCp2(1－p2)＋CpCp＝2p1(1－p1)p＋2p2(1－p2)p＋pp＝－3pp＋p1p2，
因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，且p1＋p2＝，
所以≤p1≤1，则p1p2＝p1＝p1－p，
又≤p1≤1，所以p1p2∈，设t＝p1p2，
所以P(A)＝－3t2＋t，t∈，
由二次函数得当t＝时，取最大值，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.

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