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6．3.1　二项式定理(1)
一、 单项选择题
1 (2024天津期末)的展开式中的常数项为(　　)
A. 20 B. 15 C. －20 D. －15
2 在的二项展开式中，含x项的系数为(　　)
A. 10 B. － C. D. －
3 在的展开式中，含x2项的系数为(　　)
A. 160 B. 140
C. 120 D. 100
4 在二项式的展开式中，x的指数是整数的项共有(　　)
A. 1项 　　　　　 B. 2项　　　　　
C. 3项 　　　　　　 D. 4项
5 (2024眉山期末)已知的展开式的第3项的系数是60，有下列结论：①n＝6；②展开式中的常数项是160；③展开式共有6项；④展开式的所有项系数和是26.其中正确的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2024武汉月考)若在二项式(x＋a)5的展开式中，x2的系数是80，(x2＋1)·(ax＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则ai等于(　　)
A. 2 B. －2
C. 2×39 D. 2×(－3)9
二、 多项选择题
7 下列关于二项式定理的说法中，错误的是(　　)
A. (a＋b)n的展开式中共有n项
B. 在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响
C. Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项
D. (a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同
8 (2024海安高级中学期中)已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＋a2＋…＋an＝1
B. a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18
C. a2＝144
D. |a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39
三、 填空题
9 x－n展开式中的第r项的二项式系数是________．
10 (2024北京朝阳期末)在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则n＝________；常数项为________．
11 (2024泉州模拟预测)若f(n)＝2C＋4C＋…＋2nC，则f(1) ＋f(2)＋…＋f(n)＝________．(用含n的式子表示)
四、 解答题
12 已知，求：
(1) 展开式中第2项的二项式系数；
(2) 展开式中第3项的系数；
(3) 展开式中的第4项．
13 (2024清江中学、南通部分学校月考)已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中所有的有理项．
6．3.1　二项式定理(2)
一、 单项选择题
1 (2024银川月考)C＋2C＋4C＋…＋2n-1C等于(　　)
A. 3n B. 2×3n
C. －1 D.
2 在(x＋)(x－2)5的展开式中，含x项的系数为(　　)
A. －32 B. －8 C. 8 D. 48
3 (2024阜阳期中)的展开式中的常数项为(　　)
A. 14 B. 12 C. 7 D. －14
4 已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则n的值为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5 将多项式a7x7＋a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式，得(x－2)2(x＋1)5，则a5的值为(　　)
A. 16 B. 14 C. －6 D. －10
6 (2024娄底月考)已知a>0，若在的展开式中，常数项等于240，则a的值为(　　)
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
二、 多项选择题
7 已知在(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数为56，则实数a的取值可能为(　　)
A. －1 B. 4 C. 5 D. 6
8 (2024珠海二中月考)已知二项式(x>0，且x≠1，n∈N*，n≥2)的展开式中第n－1项为15，则下列结论中正确的是(　　)
A. n＝6
B. m＝2
C. C＋C＝10
D. A＝4C
三、 填空题
9 (1＋2 )3(1－)5的展开式中含x项的系数是________．
10 (2024眉山月考)已知(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．
11 (2024徐州期末)已知f(x)＝(1＋2x)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，则a1＋a2＋…＋a9＝________；f(20)被6除所得的余数是________．
四、 解答题
12 (2024苏州西交大附中月考)已知(1＋λx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，其中λ∈R.
(1) 若n＝8，a7＝1024，求λ的值；
(2) 若λ＝－2，n＝2024，求(22 025-i＋1)ai的值．
13 (1) 已知(1＋)n(n∈N*)的第9项，第10项，第11项的二项式系数满足C＋C＝2C，求n的值；
(2) 若(x2＋a)(x－)6(a∈R)的展开式中的常数项为－65，求x2＋a的展开式中的有理项．
6．3.1　二项式定理(1)
1. B　展开式的通项为Tr＋1＝C(9x)6-r·＝(－1)r·312-3rC，令6－r＝0，得r＝4，所以展开式中的常数项为T5＝(－1)4×30Cx0＝15.
2. D　的展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5-k)·x－k＝Cx10-3k，令10－3k＝1，解得k＝3，所以展开式中含x项的系数为C＝－.
3. A　在5的展开式中，含x2项为x·C(2x)32＋·C(2x)4·＝160x2，则含x2项的系数为160.
4. C　的通项为Tk＋1＝C()6-k·＝C(－1)k，k＝0，1，2，3，4，5，6，故当k＝0，3，6时，x的指数是整数，即共有3项.
5. B　的展开式的第3项为Cxn-2＝4Cxn-4，则由题意，得4C＝60，解得n＝6，故①正确；展开式的通项为Cx6-r＝2rCx6-2r，令6－2r＝0，得r＝3，故展开式中的常数项是23C＝160，故②正确；的展开式共有7项，故③错误；在中，令x＝1可得展开式的所有项系数和为36，故④错误．故正确的个数为2.
6. B　二项式(x＋a)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5-rar，令5－r＝2，得r＝3，所以含x2项的系数为Ca3.因为x2的系数是80，所以Ca3＝80，解得a＝2.令x＝－1，可得[(－1)2＋1]·(－2＋1)9＝a0＋a1(－1＋2)＋a2(－1＋2)2＋…＋a11(－1＋2)11，所以＝－2.
7. ABC　对于A，(a＋b)n的展开式中有n＋1项，故A错误；对于B，由二项式定理可知B错误；对于C，Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，故C错误；对于D，(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数均为C，C，…，C，故D正确．故选ABC.
8. BD　由题意，得2n＝C＋C＋…＋C＝512，解得n＝9，则f(x)＝(2x－3)9，所以(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9.对于A，令x＝1，得－1＝a0，令x＝2，得1＝a0＋a1＋…＋a9，所以a1＋a2＋…＋a9＝1－(－1)＝2，故A错误；对于B，对(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9两边求导，得18(2x－3)8＝a1＋2a2(x－1)＋3a3(x－1)2＋…＋9a9(x－1)8，令x＝2，得18＝a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9，故B正确；对于C，(2x－3)9＝[2(x－1)－1]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，所以a2＝C·22·(－1)7＝－144，故C错误；对于D，由C，得ak＝C·2k·(－1)9-k(k＝0，1，…，9)，则|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝－a0＋a1－a2＋…＋a9.在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝0，得－39＝a0－a1＋a2－…－a9，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝－a0＋a1－a2＋…＋a9＝－(－39)＝39，故D正确．故选BD.
9. C
10. 6　－20　因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，所以2n＝64，解得n＝6，所以＝，则其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r＝C·(－1)r·x6-2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以展开式的常数项为C·(－1)3＝－20.
11. 　由题意，得f(n)＝2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n－1＝3n－1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝3＋32＋…＋3n－n＝－n＝.
12. 由题意，得的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3 )10-k·＝C·310-k··，
其中0≤k≤10，且k∈N.
(1) 展开式中第2项的二项式系数为C＝10.
(2) 展开式中第3项的系数为C·38·＝131 220.
(3) 展开式的第4项为T4＝C·310-3··＝－77 760 .
13. (1) 由题意，得＝，即＝，
解得n＝7.
(2) 由(1)，得的通项为Tr＋1＝C(3)7-r＝C37-rx(r＝0，1，2，…，7)，
当∈Z时，r＝1，3，5，7，
所以的展开式的有理项为T2＝C·36·x2＝5 103x2，T4＝C·34·x-1＝2 835x-1，T6＝C·32·x-4＝189x-4，T8＝C·30·x-7＝x-7.
6．3.1　二项式定理(2)
1. D　因为(1＋2)n＝C＋C×21＋C×22＋C×23＋…＋C×2n，所以C×21＋C×22＋C×23＋…＋C×2n＝3n－1，所以C＋2C＋4C＋…＋2n-1C＝.
2. C　由题意，得含x项的系数为C(－2)5＋C(－2)2＝－32＋40＝8.
3. A　的展开式的通项为Tk＋1＝C(－)k＝C27-k(－1)k，令k－21＝0，得k＝6，所以的展开式中的常数项为C×2×(－1)6＝14.
4. B　由C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，得C·1n·(－4)0＋C·1n-1·(－4)1＋C·1n-2·(－4)2＋C·1n-3·(－4)3＋…＋C·10·(－4)n＝729，则(1－4)n＝729，即(－3)n＝729，解得n＝6.
5. C　因为(x－2)2(x＋1)5＝(x2－4x＋4)(x＋1)5，所以a5x5＝x2·Cx3·12－4x·Cx4·1＋4×Cx5＝－6x5，所以a5＝－6.
6. B　由题意，得的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6-r·＝arCx12-3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以该展开式的常数项为T5＝a4C＝240，解得a＝2.
7. AD　因为(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6·(a2x2－2ax＋1)，所以在(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3的系数是C＋C(－2)·a＋Ca2＝6a2－30a＋20，所以6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或a＝－1.故选AD.
8. AB　由题意，得的展开式的通项为Tk＋1＝C(xm)n－k，则Tn－1＝C(xm)2＝·x2m－n+2＝15，所以解得故A，B正确；C＋C＝C＝C＝15，故C错误；因为C＝C＝15，A＝A＝30，所以A＝2C，故D错误．故选AB.
9. 2　(1＋2)3(1－)5的展开式的通项为2rC(－1)sCx(其中r＝0，1，2，3，s＝0，1，2，3，4，5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以或所以该展开式中含x项的系数是－C＋4C＝2.
10. 10　由(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，可得(2－1)5＝2，解得a＝1，所以该展开式中的常数项为·C·(2x)1·(－1)4＝10.
11. 2　5　由题意，得a0＝f(－1)＝－1，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝f(0)＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＝2，当x＝20时，f(20)＝419＝(42－1)9＝429C－428C＋427C－426C＋…＋42C－1＝42(428C－427C＋426C－425C＋…＋C－1)＋41，显然42(428C－427C＋426C－425C＋…＋C－1)是6的整数倍，又41除以6余5，所以f(20)被6除所得的余数是5.
12. (1) 当n＝8时，(1＋λx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
其二项展开式的通项为Tk＋1＝C(λx)k＝Cλkxk，
令k＝7，得a7＝Cλ7＝8λ7＝1 024，
解得λ＝2.
(2) 因为λ＝－2，n＝2 024，
所以(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.
易得(22 025-i＋1)ai＝(22 025＋1)a0＋(22 024＋1)a1＋…＋(21＋1)a2 024＝(a0·22 025＋a1·22 024＋…＋a2 024·21)＋(a0＋a1＋…＋a2 024)，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a2 024＝(1－2)2 024＝1，
令x＝，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝＝0，
等式两边同乘以22 025，得a0·22 025＋a1·22 024＋…＋a2 024·21＝0，
所以(22 025-i＋1)ai＝0＋1＝1.
13. (1) 由C＋C＝2C，
得＋＝，
即10×9＋(n－8)(n－9)＝20(n－8)，
化简，得n2－37n＋322＝0，即(n－14)(n－23)＝0，
解得n＝14或n＝23.
(2) 因为的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·(－1)kx－k＝C(－1)kx6-2k，
所以(x2＋a)(a∈R)的展开式中的常数项为x2·C·(－1)4x6-2×4＋a·C·(－1)3x6-2×3＝－65，
即15－20a＝－65，解得a＝4，
则＝，
其展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(4-r)·x－r＝Crx8-r(r＝0，1，2，3，4)，
当r＝0时，T1＝x8；当r＝2时，T3＝x3；当r＝4时，T5＝x-2，
故的展开式中的有理项为T1＝x8，T3＝x3，T5＝x-2.

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