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7．5　正 态 分 布
一、 单项选择题
1 设随机变量X～N(1，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σA. 0.135 8 B. 0.135 9
C. 0.271 6 D. 0.271 8
3 (2024重庆期末)某种袋装大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(X<24.8)＝0.04，若某超市购入2 000袋这种大米，则该种袋装大米的质量X∈[24.8，25.2]的袋数约为(　　)
A. 1 920 B. 1 840
C. 920 D. 160
4 某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万名中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分.经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82，16)，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为(参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σA. 2 300 B. 3 170
C. 3 415 D. 460
5 (2024重庆期末)某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(96，144).已知参加本次考试的学生约有10 000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，那么小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA. 第228名 B. 第455名
C. 第1 587名 D. 第3 173名
6 某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元，则每张芯片获得奖励的数学期望为(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(　　)
A. 52.28元 B. 65.87元
C. 50.13元 D. 131.74元
二、 多项选择题
7 (2024新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则下列说法中正确的是(参考数据：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　)
A. P(X>2)>0.2 B. P(X>2)<0.5
C. P(Y>2)>0.5 D. P(Y>2)<0.8
8 坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束．小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位：kg)服从正态分布N(27.5，4)，则下列说法中正确的是(参考数据：P(μ－σA. 配重的平均数为4kg
B. P(23.5C. σ＝2
D. 1 000个使用该器材的人中，配重超过33.5kg的有135人
三、 填空题
9 (2024信阳二模)某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为________．
10 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)，已知成绩117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________，如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人．(参考数据：P(μ－σ11 (2024沧州期中)某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布N(400，σ2)(质量单位：g).检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中ξ∈[396，404]的食盐为合格品，其他为不合格品，若要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为________．(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|μ－ξ|≤2σ)＝0.954 5)
四、 解答题
12 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6，0.16). 若有一天他出发时离点名时间还有7 min，则他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5 min，则他应选哪一条路线？
13 (2024西安期末)某新能源汽车制造企业为了解产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1 000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].
(1) 从质量指标值在[55，75)内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率；
(2) 若该项质量指标值X近似服从正态分布N(μ，σ2)，μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，σ近似为样本标准差s，并已求得s≈15.5，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格；
②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于μ的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望．
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
7．5　正 态 分 布
1. B　由P(X≤c)＝P(X>c)，且P(X≤c)＋P(X>c)＝1，得P(X≤c)＝P(X>c)＝.因为X～N(1，32)，所以由正态分布的密度曲线关于直线x＝1对称，得c＝1.
2. B　由题意，得P(23. B　因为X服从正态分布N(25，σ2)，且P(X<24.8)＝0.04，所以P(24.8≤X≤25.2)＝2[0.5－P(x<24.8)]＝2×(0.5－0.04)＝0.92，所以该种袋装大米的质量X∈[24.8，25.2]的袋数约为2 000×0.92＝1 840.
4. A　由题意，得μ＝82，σ＝4，所以P(745. A　由X～N(96，144)，得μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，则P(726. B　因为X～N(0.95，0.012)，所以μ＝0.95，μ＋σ＝0.96，所以P(X≤0.95)＝P(X≤μ)＝0.5，P(0.950.96)＝[1－P(μ－σ7. BC　因为＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，故C正确，D错误；因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1).因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，又P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，故B正确，A错误．故选BC.
8. BC　对于A，因为配重X(单位：kg)服从正态分布N(27.5，4)，所以配重的平均数为27.5kg，故A错误；对于B，因为μ＝27.5，σ＝2，所以P(23.533.5)＝P(X>μ＋3σ)＝[1－P(μ－3σ9. 3　因为X近似服从正态分布N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以＝5，解得a＝3.
10. 0.16　10　由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)，得μ＝100，σ＝17.5.因为P(82.511. 2　由正态分布性质，得若要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于1－4.55%＝0.954 5，因为P(|μ－ξ|≤2σ)＝0.954 5，则P(400－2σ≤ξ≤400＋2σ)＝0.954 5，由题意，得解得σ≤2，所以σ的最大值为2.
12. 当离点名时间还有7 min时，
若选第一条路线，则X服从正态分布N(5，1)，
则能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，则X服从正态分布N(6，0.16)，
则能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6所以P1当离点名时间还有6.5 min时，
若选第一条路线，则X服从正态分布N(5，1)，
则能及时到达的概率为P3＝P(X≤6.5)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，则X服从正态分布N(6，0.16)，
则能及时到达的概率为P4＝P(X≤6.5)＝P(X≤6)＋P(6所以P3>P4，故选第一条路线．
综上，当离点名时间还有7 min时选择第二条路线；当离点名时间还有6.5 min时选择第一条路线．
13. (1) 由频率分布直方图，得采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在[55，65)内的有5×＝3(件)，在[65，75)内的有5×＝2(件).
记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2) ①因为＝30×0.06＋40×0.1＋50×0.16＋60×0.3＋70×0.2＋80×0.1＋90×0.08＝61，
所以μ＝61，σ＝s≈15.5，故P(X<30或X>92)＝P(X<μ－2σ或X>μ＋2σ)≈1－0.954 5＝0.045 5，
所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有100×0.045 5＝4.55(万件)零部件不合格．
②因为P(X≥μ)＝，所以Y～B，
所以Y可以取0，1，2，3，
则P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝C×＝，P(Y＝2)＝C×＝，P(Y＝3)＝，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
故E(Y)＝3×＝.

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