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8．3.2　独立性检验
一、 单项选择题
1 经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当χ2<2.706时，我们认为事件A与B(　　)
A. 有95%的把握认为A与B有关系
B. 有99%的把握认为A与B有关系
C. 没有充分理由说明事件A与B有关系
D. 不能确定
2 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为(　　)
A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9%
3 (2024苏州模拟)设研究某两个属性变量时，作出零假设H0并得到2×2列联表，计算得χ2>x0.05，则下列说法中正确的是(　　)
A. 有99.5%的把握认为H0不成立 B. 有5%的把握认为H0的反面正确
C. 有95%的把握判断H0正确 D. 有95%的把握能反驳H0
4 (2024广东实验中学月考)为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：
使用手机情况 成绩 合计
及格 不及格
很少 20 5 25
经常 10 15 25
合计 30 20 50
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，下列结论中正确的是(　　)
A. 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
B. 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
5 (2024吉安期末)为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机抽取了若干人进行调查，抽取的女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的.若本次调查得出“有99%的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(　　)
附：χ2＝，且≈0.82.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 8人 B. 10人
C. 15人 D. 20人
6 在独立性检验中，两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%，则随机变量χ2的取值范围是(　　)
A. [2.706，3.841) B. [3.841，6.635)
C. [6.635，7.879) D. [7.879，10.828)
二、 多项选择题
7 (2024濮阳期末)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则下列结论中正确的是(　　)
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60
种子未经过该药处理 14
合计 100
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 6.635 7.879 10.828
A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒
B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C. χ2的观测值约为13.428
D. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该新药有效
8 (2024厦门质检)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼的人数是不经常锻炼的人数的2倍，绘制其等高堆积条形图如图所示，则下列命题中正确的是(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C. 依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 假设调查人数为600，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
三、 填空题
9 (2024靖远一中期末)为检验某种药物预防某一疾病的效果，进行了动物试验，得到如下的2×2列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
给出下列结论，其中正确的是________．(填序号)
①不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效；
②能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效；
③不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效；
④能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效．
10 某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，有阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，________(填“有”或“没有”)95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
11 随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N*)：
支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
若通过计算及根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
四、 解答题
12 某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005 的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”．
体育 文娱 合计
男生 21 23 44
女生 6 29 35
合计 27 52 79
13 (2024吉林期末)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各100株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图(统计数据分组区间为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])，记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
(1) 求图中a的值，并求综合评分的中位数；
(2) 填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 50
乙培育法 70
合计
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
8．3.2　独立性检验
1. C　当χ2≥2.706＝x0.1时，有90%以上的把握说明A与B有关系，但当χ2<2.706＝x0.1时，只能说明A与B是否有关系的理由不够充分．
2. C　因为χ2＝7.01>6.635＝x0.01，所以有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．
3. D　因为χ2>x0.05，所以有95%的把握能反驳H0.
4. D　由题中数据可得χ2＝＝≈8.333>7.879，所以有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故C错误，D正确；因为χ2≈8.333>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故A错误；因为χ2≈8.333<10.828＝x0.001，所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，故B错误．
5. B　设被调查的男性有x人，则女性有2x人，根据题意，可得如下的2×2列联表：
男性 女性 合计
喜欢钓鱼
不喜欢钓鱼
合计 x 2x 3x
则χ2＝＝≈0.82x，本次调查得出“有99%的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，可得0.82x≥6.635，解得x≥8.09.又因为x＝5n，n∈N*，结合选项，所以被调查的男性至少有10人．
6. C　对照临界值表可知选C.
7. AD　由题可将2×2列联表补充完整如下：
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60 6 66
种子未经过该药处理 20 14 34
合计 80 20 100
由上表可知A正确，B错误；由表中数据可得χ2＝≈14.439>10.828，因此根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该新药有效，故C错误，D正确．故选AD.
8. ABD　对于A，由题意知经常锻炼的人数是不经常锻炼的人数的2倍，则经常锻炼的人数为200，不经常锻炼的人数为100，所以男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60，故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A正确；对于B，经常锻炼的女生人数为200×0.5＝100，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40，故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为＝，故B正确；对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得如下的2×2列联表：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男 100 60 160
女 100 40 140
合计 200 100 300
则χ2＝≈2.679<2.706，故依据α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1，故C错误；对于D，由题意可得如下的2×2列联表：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男 200 120 320
女 200 80 280
合计 400 200 600
则此时χ2＝≈5.357>3.841，故依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确．故选ABD.
9. ②③　由表格数据可得χ2＝≈6.1>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，故①错误，②正确；又6.1<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，故③正确，④错误．
10. 有　根据题意列出如下的2×2列联表：
发病 不发病 合计
阳性家庭史 16 93 109
阴性家庭史 17 240 257
合计 33 333 366
则χ2＝≈6.067>3.841＝x0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，即有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．
11. 66　因为根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以≥3.841，即(m－10)2≥28.8075，因为函数y＝(m－10)2在10≤m≤20时单调递增，且m∈N*，(15－10)2<28.8075，(16－10)2≥28.8075，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66.
12. 零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系．
由表中数据，得χ2＝≈8.106>7.879＝x0.005.
根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关系，此推断犯错误的概率不超过0.005.
13. (1) 由频率分布直方图可得(0.005＋a＋0.025＋0.04＋0.02)×10＝1，解得a＝0.010.
因为(0.005＋0.01＋0.025)×10＝0.4<0.5，(0.005＋0.01＋0.025＋0.04)×10＝0.8>0.5，
所以中位数位于[80，90)内，设中位数为x，
则有0.4＋0.04×(x－80)＝0.5，解得x＝82.5，
故综合评分的中位数为82.5.
(2) 由频率分布直方图可得优质花苗的频率为(0.04＋0.02)×10＝0.6，
所以优质花苗共有2×100×0.6＝120(株)，则非优质花苗共有200－120＝80(株)，
所以补充完整的2×2列联表如下：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 50 50 100
乙培育法 70 30 100
合计 120 80 200
零假设为H0：优质花苗与培育方法无关，
由表中数据得χ2＝＝≈8.333>6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为优质花苗与培育方法有关，该推断犯错误的概率不大于0.01.

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