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4．4　数学归纳法
4.4.1　数学归纳法(1)
1. 了解数学推理的常用方法（归纳法）.
2. 了解数学归纳法的原理，初步掌握用数学归纳法证明数列中的简单命题．
活动一 了解数学归纳法的背景
情境1：很多同学小时候都玩过多米诺骨牌的游戏，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，这样只要推倒第一块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
思考1
这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
情境2：对于数列{an}，已知a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为an＝1，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须经过严格的证明．
要证明这个猜想，同学们自然就会想到从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
思考2
你认为证明数列的通项公式是an＝1这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米骨牌游戏解决这个问题吗？
思考3
归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
活动二　了解数学归纳法的原理　
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1) （归纳奠基）证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2) （归纳递推）以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出当n＝k＋1时命题也成立．
那么，命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
用框图表示为：
活动三　掌握数学归纳法的简单应用——证明一些简单的数学命题　
例1　用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝a1＋(n－1)d对任何n∈N*都成立．
例2　用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＝ (n∈N*).
1. （2024成都阶段练习）用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，都有1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，第一步应该验证的等式是(　　)
A. 1－＋－＝＋ B. 1－＋＝＋
C. 1＝＋ D. 1－＝
2. 已知n∈N*，用数学归纳法证明f(n)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝时，假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，需要用到的f(k＋1)与f(k)之间的关系式是(　　)
A. f(k＋1)＝f(k)＋3k－5 B. f(k＋1)＝f(k)＋3k－2
C. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 D. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋4
3. （多选）已知一个命题F(k)，k＝2n(n∈N*)，当n＝1，2，…，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1时，它也成立，则下列命题中不正确的是(　　)
A. F(k)对于k＝2 002成立 B. F(k)对于每一个自然数k成立
C. F(k)对于每一个偶数k成立 D. F(k)对于某些偶数可能不成立
4. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，从n＝k推证n＝k＋1时，左边增加的代数式是　　　　．
5. （2023全国随堂练习）用数学归纳法证明：＋＋…＋＝1－(n∈N*).
4．4.2　数学归纳法(2)
1. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，能通过“归纳→猜想→证明”的方法处理问题．
2. 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．
活动一 用数学归纳法证明整除性问题
例1　用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．
方法一：配凑递推假设；
方法二：计算f(k＋1)－f(k)，避免配凑．
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件是解题的关键；
②注意从“n＝k到n＝k＋1”时项的变化．
活动二　用数学归纳法证明平面几何问题　
例2　在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，则这n条直线将平面分成多少个部分？
活动三　体会归纳→猜想→证明的方法　
例3　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
例4　设x为实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
1. 猜归法是发现与论证的完美结合．
数学归纳法证明问题的一般方法：归纳→猜想→证明．
2. 两个注意：
(1) 是否用了归纳假设；
(2) 从n＝k到n＝k＋1时关注项的变化．
1. 上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想中正确的是(　　)
A. f(n)＝n B. f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C. f(n)＝f(n－1)f(n－2) D. f(n)＝
2. 用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为(　　)
A. 5(5k－2k)＋3×2k B. (5k－2k)＋4×5k－2k
C. (5－2)(5k－2k) D. 2(5k－2k)－3×5k
3. （多选）（2023珠海斗门一中期中）有如下四个命题，其中满足“假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是(　　)
A. 2n>2n＋1(n≥2)
B. 2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)
C. 凸n边形的内角和为f(n)＝(n－2)π(n≥3)
D. 凸n边形的对角线条数g(n)＝(n≥4)
4. 观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可以猜想的结论为　　　　　　　　　　　　　　　　　．
5. 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1) 求出a2，a3并猜想an的通项公式；
(2) 用数学归纳法证明你的猜想．
4．4 　数学归纳法
4．4.1　数学归纳法(1)
【活动方案】
思考1：①第一张骨牌倒下；
②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
思考2：相似．
①易知，当n＝1时，猜想成立；
②假设当n＝k，k∈N*时，猜想成立，即ak＝1，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝1，
即n＝k＋1时，猜想也成立．
综合①②知，猜想成立．
思考3：先证明当n＝n0时，这个结论成立；再以“当n＝k(n≥n0)时结论成立”为条件，推出当n＝k＋1时结论成立．两者缺一不可．
例1　①当n＝1时，a1＝a1＋0×d＝a1，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝a1＋(k－1)d.
当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综上，an＝a1＋(n－1)d对任意n∈N*都成立．
例2　①当n＝1时，等式左边＝12＝1，等式右边＝＝1，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论也成立，
即12＋22＋…＋k2＝，
则当n＝k＋1时，
12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综上，对任意n∈N*，等式都成立．
【检测反馈】
1. D　在等式1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，n∈N*中，当n＝1时，2n＝2，则等式的左边为1－，右边为，所以第一步应该验证的等式是1－＝.
2. C　由题意，得当n＝k时，f(k)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2).当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]，则f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1.
3. ABC　由命题F(k)，k＝2n (n∈N*)，当n＝1，2, …，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1 时它也成立，可得F(k)对于1～2000内的偶数均成立，而对于其他数不一定成立，故F(k)对于k＝2002不一定成立，F(k)对于每一个自然数k不一定成立，F(k)对于每一个偶数k不一定成立，F(k)对于某些偶数可能不成立．故选ABC.
4. 4k＋3　由题意，可得当n＝1时，等式左边＝1＋2；当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋2k；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)，所以从k到k＋1时，左边需增加的代数式是(2k＋1)＋2(k＋1)＝4k＋3.
5. ①当n＝1时，等式左边＝，等式右边＝1－＝，结论成立；
假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论也成立，
即＋＋…＋＝1－，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝1－＋＝1－＋＝1－，
即当n＝k＋1时，结论也成立．
综上，＋＋…＋＝1－(n∈N*)成立．
4．4.2　数学归纳法(2)
【活动方案】
例1　①当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，
则当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k+1－1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝(3k＋1)·7k－1＋9(2k＋3)·7k，
所以[3(k＋1)＋1]·7k+1－1能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立．
综上，对任何n∈N*命题都成立．
例2　设n条直线将平面分成f(n)个部分，
则f(1)＝2＝1＋1，
f(2)＝4＝1＋1＋2，
f(3)＝7＝1＋1＋2＋3，
f(4)＝11＝1＋1＋2＋3＋4，
……
由此猜想f(n)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1，2时，结论均成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，结论成立，即f(k)＝1＋1＋2＋3＋…＋k，
则当n＝k＋1时，第(k＋1)条直线与前面的k条直线都相交且不共点，有k个交点，这k个交点将这条直线分成(k＋1)段，每一段将原有的平面部分分成2个部分，即在原平面部分数上增加了(k＋1)个部分，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝1＋1＋2＋3＋…＋k＋k＋1.
综上，对任意n∈N*，都有f(n)＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝.
例3　由2an＋1－anan＋1＝1，
可得an＋1＝(n∈N*).
由a1＝0，得a2＝＝.
同理可得a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
归纳上述结果，猜想an＝(n∈N*).
下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当n＝1时，a1＝＝0，猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何n∈N*都成立．
例4　方法一：由已知可得Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1.
当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，
由x≠0，知x2>0，可得S2>2x；
当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，
由x>－1且x≠0，知x2(x＋3)>0，可得S3>3x.
由此，我们猜想，当x>－1且x≠0，n∈N*且n>1时，Sn>nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk>kx，
则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k>kx＋x(1＋x)k.
当x>0时，因为k>1，所以(1＋x)k>1，
所以x(1＋x)k>x；
当－10.
又因为k>1，所以(1＋x)k<1＋x，
可得x(1＋x)k>x(1＋x)＝x＋x2>x.
综上可知，当x>－1且x≠0时，
Sk＋1>kx＋x(1＋x)k>kx＋x＝(k＋1)x，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，不等式Sn>nx对任何大于1的正整数n都成立．
方法二：因为x>－1，x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，
则Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1＝＝(1＋x)n－1.
当n＝2时，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，
由x≠0，知x2>0，可得S2>2x；
当n＝3时，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，
由x>－1，x≠0，得x2(x＋3)>0，可得S3>3x.
由此，我们猜想，当x>－1且x≠0，n∈N*且n>1时，Sn>nx.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk>kx成立，即(1＋x)k－1>kx，即(1＋x)k>1＋kx.
由x>－1，得x＋1>0.
又因为k>1，x≠0，所以kx2>0，
则Sk＋1＝(1＋x)k+1－1＝(1＋x)k(1＋x)－1>(1＋kx)(1＋x)－1＝kx2＋(k＋1)x>(k＋1)x，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，不等式Sn>nx对任何大于1的正整数n都成立．
【检测反馈】
1. D　当n＝1时，f(n)＝1；当n＝2时，f(n)＝2；当n≥3时，f(n)分两类，第一类从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类从第n－2层再上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3).综上，f(n)＝
2. A　假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即5k－2k能被3整除，则当n＝k＋1时，5k+1－2k+1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋3×2k，所以5k+1－2k+1能被3整除，故选A.
3. AB　对于A，假设当n＝k，k∈N*，k≥2时，命题成立，即2k>2k＋1.当n＝k＋1时，有2k+1＝2·2k>4k＋2＝2k＋2＋2k＝2(k＋1)＋2k>2(k＋1)＋1，故当n＝k＋1时，命题也成立．又当n＝2时，有4>5，所以当n为给定的初始值时，命题不成立，故A符合题意；对于B，假设当n＝k，k∈N*时，命题成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋2.当n＝k＋1时，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2＋2(k＋1)＝k2＋2k＋1＋k＋3＝(k＋1)2＋(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时，命题也成立．又当n＝1时，等号左边为2，右边为1＋1＋2＝4，2≠4，所以当n为给定的初始值时，命题不成立，故B符合题意；对于C，假设当n＝k，k∈N*，k≥3时，命题成立，即f(k)＝(k－2)π.当n＝k＋1时，有f(k＋1)＝f(k)＋π＝(k－1)π，故当n＝k＋1时，命题也成立．又当n＝3时，内角和为π，命题也成立，故C不符合题意；对于D，假设当n＝k，k∈N*，k≥4时，命题成立，即g(k)＝，则当n＝k＋1时，有g(k＋1)＝g(k)＋k－1＝＋k－1＝≠，故当n＝k＋1时，命题不成立，故D不符合题意．故选AB.
4. 1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)
5. (1) 因为a1＝，an＋1＝，
所以a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
因此可猜想：an＝(n∈N*).
(2) 当n＝1时，a1＝，猜想成立，
假设n＝k，k≥1，k∈N*时，猜想成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立，
综上所述，对任意自然数n∈N*，an＝.

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