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4．3.2　等比数列的前n项和公式(1)
1. 探索并掌握等比数列的前n项和公式．
2. 理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
3. 会利用公式求等比数列的前n项和以及数列中的某些项．
活动一 探究等比数列的前n项和公式
国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知1 000颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言．
让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和．
思考1
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
思考2
当公比q＝1时，等比数列{an}的前n项和Sn等于多少？
思考3
回答上述材料中的问题．
活动二　掌握等比数列的前n项和公式的应用　
例1　已知数列{an}是等比数列．
(1) 若a1＝，q＝，求S8；
(2) 若a1＝27，a9＝，q<0，求S8；
(3) 若a1＝8，q＝，Sn＝，求n.
在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－1，q＝－，n＝5，求Sn；
(2) 已知a1＝8，q＝，an＝，求Sn；
(3) 已知a1＝，S3＝，求q.
在等比数列{an}中，有五个量a1，q，an，n，Sn，根据等比数列的通项公式和前n项和公式，通过联立方程组，可知三求二．
例2　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn.若＝，求公比q.
等比数列求和问题一定要注意分q＝1和q≠1两种情况讨论！
思考4
本题还有其他解法吗？
在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an，S9.
已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2，a8，a5成等差数列．
(1) 求等比数列{an}的公比q；
(2) 判断S3，S9，S6是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．
1. （2024成都月考）已知数列{an}是等比数列，若a3＝，S3＝，则a1的值为(　　)
A. 6 B. C. 4 D. 6或
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则的值是(　　)
A. －11 B. －8 C. 5 D. 11
3. （多选）（2024盐城期末）已知等比数列{an}的公比为q，前n(n∈N*)项和为Sn.若a1＝，S6＝9S3，则下列结论中正确的是(　　)
A. q＝ B. q＝2
C. Sn＝2an－(n∈N*) D. Sn＋1＝2Sn＋(n∈N*)
4. 已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则a3＝　　　　．
5. （2024广西期末）已知数列{an}为等比数列．
(1) 若a1＝－2，a6＝，求{an}的前4项和S4；
(2) 若公比q＝2，{an}的前6项和S6＝189，求a1.
4．3.2　等比数列的前n项和公式(2)
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．
2. 探究并掌握等比数列前n项和的简单性质．
活动一　理解等比数列的通项公式及前n项和公式　
1. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝　　　　．
2. 已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝　　　　．
活动二　掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系　
练习：求出下列等比数列的前n项和Sn.
(1) 1，，，，…，则Sn＝____________；
(2) a1＋a6＝66，a2·a5＝128，则Sn＝　　　　　　　　　　　　．
例1　数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，证明：数列{an}是等比数列．
思考1
非常数列的等比数列前n项和的一般形式是怎样的？它是什么样的结构？
活动三　掌握等比数列前n项和的性质　
例2　一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
例3　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．
思考2
等比数列前n项，前2n项，前3n项和分别是Sn，S2n，S3n，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n一定成等比数列吗？
例4　若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，求证：Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
1. 已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A. 或5 B. 或5 C. D.
2. （2024开封期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝3，S8＝9，则S12的值为(　　)
A. 21 B. 18 C. 15 D. 12
3. （多选）（2024浙江月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，3an＋1＝Sn，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2＝ B. an＝ C. Sn＝ D. S5·S7>S
4. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为　　　　．
5. （2024日照月考）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b2＝1，a2＋a4＝10，b4＝a5.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求数列{bn}的前n项和．
4．3.2　等比数列的前n项和公式(3)
1. 能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．
2. 通过对等比数列的基本知识的学习，提高理解与运用知识的能力．
活动 运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模
例1　如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
例2　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
例3　某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….
(1) 写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数；
(3) 求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）.
1. （2024邯郸期末）一个弹性小球从10 m高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为(　　)
A. 29.375 m B. 19.375 m C. 38.75 m D. 28.75 m
2. （2024威海期末）一个边长为1的正方形被等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图1；再将剩余的每个正方形都等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图2，如此继续操作下去，到第n次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为(　　)
图1 图2 图3
A. B. C. D.
3. （多选）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法中正确的是(　　)
A. 此人第二天走了九十六里路
B. 此人第三天走的路程占全程的
C. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D. 此人后三天共走了四十二里路
4. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是　　　　元．（精确到整数）
5. “绿水青山就是金山银山”，为响应国家号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从某年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从该年起第n年绿洲面积为 an万平方千米，求：
(1) 第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an－1的关系；
(2) {an}的通项公式；
(3) 至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2≈0.301，lg 5≈0.699)
4．3.2　等比数列的前n项和公式(1)
【活动方案】
思考1：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1.　①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn.②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn).
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式Sn＝(q≠1).(1)
因为an＝a1qn-1，所以公式(1)还可以写成Sn＝(q≠1).(2)
思考2: 当公比q＝1时，等比数列{an}为常数列，则an＝a1(n≥2)，故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.
思考3: 由a1＝1，q＝2，n＝64，
得S64＝＝264－1.
如果一千颗麦粒的质量约为40 g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍．因此，国王根本不可能实现他的诺言．
例1　(1) 因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.
(2) 由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝，
即q8＝.
又由q<0，得q＝－，
所以S8＝＝.
(3) 把a1＝8，q＝，Sn＝代入Sn＝，得＝，
整理，得＝，
解得n＝5.
跟踪训练　(1) Sn＝－　(2) Sn＝
(3) q＝1或q＝－2
例2　若q＝1，则＝＝2≠，
所以q≠1.
当q≠1时，由＝，
得·＝，
整理，得1＋q5＝，即q5＝－，
所以q＝－.
思考4：因为＝，所以＝，
即＝－，
所以q5＝－，
即q＝－.
跟踪训练1　由题意，得q≠1，
则S3＝＝，S6＝＝，
所以＝，解得q＝2，
所以a1＝，所以an＝×2n-1＝2n-2，S9＝＝.
跟踪训练2　(1) 由题意，得2a8＝a2＋a5，所以2a1q7＝a1q＋a1q4.
因为a1q≠0，所以2q6＝1＋q3，
即2q6－q3－1＝0，解得q3＝1或q3＝－，
所以 q＝1或q＝.
(2) ①当q＝1时，因为2S9≠S3＋S6，
所以当q＝1时，S3，S9，S6不成等差数列；
②当q＝时，
因为2S9＝＝·＝，
S3＋S6＝＋＝，
所以2S9＝S3＋S6，
所以当q＝时，S3，S9，S6成等差数列．
综上，当q＝1时，S3，S9，S6不成等差数列；当q＝时，S3，S9，S6成等差数列．
【检测反馈】
1. D　设等比数列{an}的公比为q≠0，则有a3＝a1q2＝，即a1＝.又S3＝a1＋a1q＋＝，即a1(1＋q)＝＝3，即2q2－q－1＝0，即(2q＋1)(q－1)＝0，解得q＝1或q＝－.当q＝1时，a1＝＝；当q＝－时，a1＝＝＝6，故选D.
2. A　由8a2＋a5＝0，得＝－8，即q3＝－8，所以q＝－2，所以＝＝＝－11.
3. BC　由S6＝9S3，可知q≠1，则有＝，解得q＝2，故A错误，B正确；由上知an＝·2n-1＝2n-4，Sn＝＝2n-3－，Sn＋1＝2n-2－，代入C，D选项中验证，可知C正确，D错误．故选BC.
4. 2或8　设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2；当q≠1时，由S3＝＝＝6，解得q＝－2，此时a3＝a1·q2＝8.综上可知，a3＝2或a3＝8.
5. (1) 设等比数列{an}的公比为q，
由a1＝－2，a6＝，得q5＝＝－，
所以q＝－，
所以S4＝＝－.
(2) 由S6＝a1×＝189，得a1＝3.
4．3.2　等比数列的前n项和公式(2)
【活动方案】
1. 84
2. 5
练习：(1)
(2) 2(2n－1)或128
例1　因为Sn＋1＝an+1－1，Sn＝an－1，
所以an＋1＝an+1－an＝an(a－1)，
an＝an－an-1＝an-1(a－1)，
所以＝＝a，
所以数列{an}是等比数列．
思考1：当q≠1时，Sn＝，即Sn＝－·qn＋.设A＝，则上式可写成Sn＝－Aqn＋A.
非常数列的等比数列前n项和是由一个指数式和一个常数的和构成的，且指数式系数与常数互为相反数．
例2　设公比为q，项数为2n，
则解得
所以公比为2，项数为8.
例3　当q＝1时，Sn＝na1，
S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，
S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1.
当q≠1时，
Sn＝，
S2n－Sn＝－＝＝qnSn，
S3n－S2n＝－＝＝qn(S2n－Sn)，　
所以＝＝qn.
因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
思考2：当Sn≠0时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，否则不是等比数列．
例4　因为Sm＋n＝，Sn＝，
qn·Sm＝qn·，
所以Sn＋qn·Sm＝
＝
＝＝Sm＋n，
所以Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
【检测反馈】
1. C　若q＝1，则由9S3＝S6，得9×3a1＝6a1，即a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2或q＝1(舍去)，故an＝a1qn-1＝2n-1，＝，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
2. A　因为Sn为等比数列{an}的前n项和且S4≠0，所以S4，S8－S4，S12－S8也成等比数列，即3，6，S12－S8成等比数列，所以S12－S8＝＝12，即S12＝S8＋12＝9＋12＝21.
3. AC　由a1＝1，3an＋1＝Sn，得3a2＝S1＝a1＝1，可得a2＝，故A正确；当n≥2时，又3an＝Sn－1，可得3an＋1－3an＝an，即＝.而＝，即当 n＝1时，不满足＝，所以数列{an}是从第2项起公比为的等比数列，可得an＝故B错误；当n≥2时，Sn＝a1＋＝1＋＝，S1＝1也适合该式，故Sn＝，则S5·S7＝4·＝＝S，故C正确，D错误．故选AC.
4. －2　因为Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，所以2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.若q＝1，则(n＋1)a1＋(n＋2)a1＝2na1.因为a1≠0，所以2n＋3＝2n，不成立；若q≠1，则(1－qn+1)＋(1－qn+2)＝·(1－qn)，所以qn+1＋qn+2＝2qn，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去).故q的值为－2.
5. (1) 设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2) 由(1)知，b4＝a5＝9.
设等比数列{bn}的公比为q，q>0，
由题意，得
解得b1＝，q＝3.
设数列{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝.
4．3.2　等比数列的前n项和公式(3)
【活动方案】
例1　设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1＝25.
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ak.
因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn.
(1) S10＝＝50×[1－]＝，
所以前10个正方形的面积之和为 cm2.
(2) 当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…，
而Sn＝＝50，
随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50，所以这些正方形的面积之和将趋近于50.
例2　设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，
则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…＋6＋1.5n)
＝－(7.5＋6＋1.5n)
＝420×1.05n－n2－n－420.
当n＝5时，S5≈63.5，
所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
例3　(1) 由题意，得c1＝1200，
并且cn＋1＝1.08cn－100.①
(2) 将cn＋1－k＝r(cn－k)化成cn＋1＝rcn－rk＋k.②
比较①②的系数，可得
解得
所以(1)中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08(cn－1250).
(3) 由(2)可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，
则(c1－1250)＋(c2－1250)＋(c3－1250)＋…＋(c10－1250)＝≈－724.3，
所以S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10－724.3＝11775.7≈11776.
【检测反馈】
1. D　前五次落地经过的路程分别为10 m，10 m，5 m，2.5 m，1.25 m，其和为28.75 m.
2. A　设第n次新挖掉的面积为an，则第n＋1次新挖掉的面积为an＋1.由题意，得an＋1＝an，又a1＝，所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列．设第n次操作后，挖掉的面积之和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝1－＝.
3. ACD　设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192.对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，故A正确；对于B，由于 a3＝192×＝48，>，故B不正确；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故C正确；对于D，由于 a4＋a5＋a6＝192×＝42，所以此人后三天共走了四十二里路，故D正确．故选ACD.
4. 367209　设每次的还款额为A元，记贷款额为B＝1000000元，由题意，第一次还款后欠款额为B×1.05－A；第二次还款后欠款额为(B×1.05－A)×1.05－A，第三次还款后欠款额为[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A.因为三次将欠款还完，所以[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A＝0，整理得B＝＋＋＝1000000，解得A≈367209，故每次的还款额约为367 209元．
5. (1) 由题意，得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋，所以an＝an－1＋.
(2) 由(1)，得an＝an－1＋，
所以an－＝.
又a1＝，所以a1－＝－，
所以是以－为首项，为公比的等比数列，所以an－＝－×n-1，
所以an＝－×n-1＋.
(3) 由(2)，得an＝－×n-1＋>，
所以n-1<，
两边取常用对数，得(n－1)lg 所以n－1>＝≈≈4.1，
所以n>5.1，
所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%.

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