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(共16张PPT)
学习目标
1.会证明相似三角形的判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
③ 三边对应成比例，两三角形相似.
讲授新课
证明相似三角形的判定定理
一
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和
△A'B'C' 中，∠A =∠A'，
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则
∴ ∴
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行
四边形．
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取
AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
E
D
F
1
2
∴ DE = CF . ∴ ∴
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2 =∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A，A′D = AB，
∴ △A′DE ≌△ABC.
∴ △A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D = AB，
∴
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
∴
C′
B′
A′
证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE = B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD = A′B′，
∴ ， .
解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C，
∴ △ABD ∽ △ACB.
∴ AB : AC = AD : AB.
∴ AB = AD · AC.
∵ AD = 2， AC = 8，
∴ AB = 4.
相似三角形判定定理的运用
二
例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB.
C
D
A
B
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．
C
A
B
D
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
∴
② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ，
即 : = AB : ，解得 AB = ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，
这两个直角三角形相似．
① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC，
即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3；
C
A
B
D
2
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；
(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；
(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .
练一练
相似
相似
相似
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
当堂练习
2.如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠ACD，AB = 6，
BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长.
解：∵ AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD =
∴
又∠B = ∠ACD，
∴ △ABC∽△DCA.
∴
∴ AD =
A
B
C
D
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
课堂小结

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