资源简介

(共20张PPT)
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
学习目标
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
导入新课
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，
我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴ DE = B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE ≌ △A′B′C′.
∴△A′B′C′ ∽ △ABC.
∴ ， .
又 ，AD = A′B′，
∴
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
归纳总结
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
典例精析
(1)
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △DEF 中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵ ， ， ，
∴ .
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
∵ ， ，
∴
(2)
解：
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
归纳总结
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断
它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB＝4， BC＝8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB＝3， BC＝4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
练一练
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′
= 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′，
∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2
= 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2)
= 4B′C′ 2 = (2B′C′)2.
∴ BC = 2B′C′，
∴ △A′B′C′∽△ABC.
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，
∠BAD = 20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
∴ △ABC ∽△ADE.
解：∵
∴∠BAC =∠DAE，
即∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC.
∴∠BAD =∠CAE.
∵∠BAD = 20°，
∴∠CAE = 20°.
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD =∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC =∠DAE，
∠B =∠D，∠C =∠E，∠BAD =∠CAE.
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，
找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
练一练
A
B
C
D
E
1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
C
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
①
②
③
④
当堂练习
2. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选 C.
解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，∴AB = ，AC = ，AD = .
3. 根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似：
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm.
答案：不相似.
4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，
CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
∴
∴
5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，
已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.理由如下：
∴
∴ △ABD∽△BDC.
∴∠ABD =∠BDC.
∴AB∥DC.
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理 3 的运用

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