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第1课时　直线的方程
[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，_________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______________．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝__．
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ___________________ 不含直线x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 __ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 _____ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ___________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在．
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< ＜α＜π
k k≥0 不存在 k<0
2．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
4．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α． (　　)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)
(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． (　　)
(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　)
A．1　　　B．－1　　　C． 2　　　D． －2
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－
C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1
(2)(2024·黄浦区校级三模)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D． ∪
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　斜率取值范围的两种求法
数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分与两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的．
[跟进训练]
1．(1)若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
考点二　直线方程的求法
[典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求直线方程的两种方法
[跟进训练]
2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________．
(2)过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________．
考点三　直线方程的综合应用
[典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式]　1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
[跟进训练]
3．(1)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)
(2)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为________．
第1课时　直线的方程
梳理·必备知识
2．(1)x轴正向　向上　(2)0°≤α<180°
3．(1)正切值　tan α　(2)
4．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝1　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
激活·基本技能
一、(1)×　(2)×　(3) ×　(4)√
二、1．D　[由已知得k＝＝－2．故选D．]
2．C　[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1．故选C．]
3．－3　[因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，所以，所以x＝－3．]
4．9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0．]
考点一
典例1　(1)B　(2)C　[(1)依题意，直线PA，PB的斜率分别为kPA＝＝－，kPB＝＝1．如图所示：
若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，
则l的斜率k满足k≤kPA＝－或k≥kPB＝1，
即l的斜率k的取值范围是k≥1或 k≤－．故选B．
(2)①当a＝0时，斜率不存在，即倾斜角为；
②当a>0时，直线的斜率k＝＝＝＝1，
∴k≥1，
即直线的倾斜角的取值范围为．
③当a<0时，直线的斜率k＝＝≤－＝－＝－1, ∴k≤－1，
即直线的倾斜角的取值范围为 ．
综上，直线的倾斜角的取值范围为 ．故选C．]
跟进训练
1．(1)A　(2)B　[(1)设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，
则直线l的斜率为k＝tan α＝＝，
因为0≤α<π，所以α＝．故选A．
(2)直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，
则直线l的斜率k＝－sin α∈ ．
设直线l的倾斜角为θ，则有tan θ∈，
又θ∈[0，π)，
所以当k∈ 时，直线l的倾斜角θ∈ ；
当k∈时，直线l的倾斜角θ∈．
综上所述，直线l的倾斜角θ∈．故选B．]
考点二
典例2　解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0．
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2．
BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则边BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0．
跟进训练
2．(1)2x＋3y－5＝0　(2)2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[(1)联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)．
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－．
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．
(2)当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴上的截距均为0，符合题意．
当在x轴、y轴上截距均不为0时，设直线方程为，
将代入得＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0．
所以所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0．]
考点三
典例3　解：法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)
＝ ≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，
即x＋2y－4＝0．
拓展变式
1．解：由本例法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·，
当且仅当a＝2＋时等号成立，
所以当＝0．
2．解：法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝
＝2×＝2 ≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·||＝－＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
跟进训练
3．(1)C　(2)4　[(1)若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－，因为l经过第四象限，
所以－<0或解得a<0或a>．
综上，a的取值范围为(－∞，0)．
(2)因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，
又因为a＞0，b＞0，所以＝1，
所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为
b＋a＝(b＋a)
≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．]
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第八章　解析几何
第八章　解析几何
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解

第八章　解析几何
高考命题规律把握
1．常考点：直线方程、圆、圆锥曲线的概念和性质．
一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．
2．轮考点：定点、定值问题、最值问题、计算证明问题及探索性问题．
常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力．
第1课时
直线的方程
[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
链接教材·夯基固本
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，_________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______________．
x轴正向
向上
0°≤α<180°
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝
__________．
正切值
tan α
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ___________________ 不含直线x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 __________________ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
＝
名称 方程 适用范围
截距式 ________________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在．
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< ＜α＜π
k k≥0 不存在 k<0
2．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
4．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α． (　　)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)
(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． (　　)
(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)． (　　)
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　)
A．1　　　B．－1　　　C． 2　　　D． －2
D　[由已知得k＝＝－2．故选D．]
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
√
C　[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1．故选C．]
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．
－3　[因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3．]
－3
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0．]
9x－y＝0或x＋y－10＝0
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－
C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1
典例精研·核心考点
√
(2)(2024·黄浦区校级三模)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D． ∪
√
(1)B　(2)C　[(1)依题意，直线PA，PB的斜率分别为kPA＝＝
－，kPB＝＝1．如图所示：
若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，
则l的斜率k满足k≤kPA＝－或k≥kPB＝1，
即l的斜率k的取值范围是k≥1或 k≤－．故选B．
(2)①当a＝0时，斜率不存在，即倾斜角为；
②当a>0时，直线的斜率k＝＝＝＝1，
∴k≥1，
即直线的倾斜角的取值范围为．
③当a<0时，直线的斜率k＝＝≤－＝－＝－1，∴k≤－1，
即直线的倾斜角的取值范围为 ．
综上，直线的倾斜角的取值范围为 ．故选C．]
名师点评　斜率取值范围的两种求法
数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分与两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的．
[跟进训练]
1．(1)若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)A　(2)B　[(1)设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，
则直线l的斜率为k＝tan α＝＝，
因为0≤α<π，所以α＝．故选A．
(2)直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，
则直线l的斜率k＝－sin α∈ ．
设直线l的倾斜角为θ，则有tan θ∈，
又θ∈[0，π)，
所以当k∈ 时，直线l的倾斜角θ∈ ；
当k∈时，直线l的倾斜角θ∈．
综上所述，直线l的倾斜角θ∈．故选B．]
【教用·备选题】
1．(1)(2024·安徽江淮十校模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
√
A　[由题意得，直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为．故选A．]
2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
　
－3　
　－3　[如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan (θ－45°)＝＝＝，
kOC＝tan (θ＋45°)＝＝＝－3．]
考点二　直线方程的求法
[典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0．
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2．
BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则边BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0．
名师点评　求直线方程的两种方法
[跟进训练]
2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为_____________．
(2)过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_________________________．
2x＋3y－5＝0
2x＋3y＝0或x＋y－1＝0
(1)2x＋3y－5＝0　(2)2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[(1)联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)．
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－．
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．
(2)当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴上的截距均为0，符合题意．
当在x轴、y轴上截距均不为0时，设直线方程为＝1，
将代入得＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0．
所以所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0．]
考点三　直线方程的综合应用
[典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解：法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)＝ ≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，
即x＋2y－4＝0．
[拓展变式]　1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：由本例法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0．
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝＝2×＝2 ≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·||＝－＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
名师点评　处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
[跟进训练]
3．(1)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
(2)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为________．
√
4　
(1)C　(2)4　[(1)若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－x－，
因为l经过第四象限，
所以－<0或
解得a<0或a>．
综上，a的取值范围为(－∞，0)．
(2)因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，
所以a＋b＝ab，
又因为a＞0，b＞0，所以＝1，
所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为
b＋a＝(b＋a)＝2＋
≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．]
【教用·备选题】
1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．
　
　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，
直线l1在y轴上的截距为2－a，
直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋．
又0＜a＜2，
所以当a＝时，四边形的面积最小．]
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)．
(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k，
∴
∴k∈[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得
A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k＞0．
∵S＝·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝＝ ≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时“＝”成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(教材改编)过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为
(　　)
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
13
课后作业(四十七)　直线的方程
√
A　[由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0．故选A．]
题号
1
3
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10
11
12
13
2．对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是(　　)
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)
D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6)
题号
1
3
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13
√
题号
1
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12
13
C　[方程＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)，故选C．]
3．(2024·贵州毕节期末)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
1
3
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12
√
13
C　[直线mx＋y－4m－1＝0可化为y－1＝－m(x－4)，所以直线过定点(4，1)，且斜率k＝－m<0，故该直线不经过第三象限．故选C．]
4．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　)
A． B．－
C．或0 D．－或－
题号
1
3
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11
12
√
13
C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－，
所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．]
题号
1
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13
题号
1
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12
5．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]
D．
13
√
题号
1
3
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11
12
D　[∵直线l：y＝k(x－2)＋1过点P(2，1)，
连接P与线段AB上的点A(1，3)时，直线l的斜率最小，为kPA＝＝－2，连接P与线段AB上的点B(－2，－1)时，直线l的斜率最大，为kPB＝＝，∴k的取值范围是 ．故选D．]
13
题号
1
3
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12
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
A　[易知A(－1，0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0．故选A．]
13
题号
1
3
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2
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11
12
二、多项选择题
7．(2025·广东广州模拟)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　)
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
ACD　[对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；
对于B，斜率k＝－＝－，故B错误；
对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
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10
11
12
8．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．]
13
题号
1
3
5
2
4
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12
三、填空题
9．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________________________．
13
(－1，－1)(答案不唯一)
题号
1
3
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2
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12
(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1)．
又B(1，0)，则＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
13
题号
1
3
5
2
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11
12
10．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为__________________________．
13
x＝－或y＝(x＋)　
题号
1
3
5
2
4
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8
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11
12
x＝－或y＝(x＋)　[在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°．若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为
tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为(　　)
A． B．
C． D．2
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|，∴tan ∠CBD＝，
∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan ＝．故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．3 D．6
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得点B(2，3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________．
13
或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝
－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝；
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝
－；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－．
所以k的取值为或－2或－．]
13
谢 谢！课后作业(四十七)　直线的方程
一、单项选择题
1．(教材改编)过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为(　　)
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
2．对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是(　　)
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)
D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6)
3．(2024·贵州毕节期末)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　)
A． B．－
C．或0 D．－或－
5．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]
D．
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、多项选择题
7．(2025·广东广州模拟)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　)
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
8．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
三、填空题
9．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________．
10．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
11．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为(　　)
A． B．
C． D．2
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．3 D．6
13．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________．
课后作业(四十七)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0．故选A．]
2．C　[方程＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)，故选C．]
3．C　[直线mx＋y－4m－1＝0可化为y－1＝－m(x－4)，所以直线过定点(4，1)，且斜率k＝－m<0，故该直线不经过第三象限．故选C．]
4．C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－，
所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．]
5．D　[∵直线l：y＝k(x－2)＋1过点P(2，1)，
连接P与线段AB上的点A(1，3)时，直线l的斜率最小，为kPA＝＝－2，连接P与线段AB上的点B(－2，－1)时，直线l的斜率最大，为kPB＝＝，∴k的取值范围是 ．故选D．]
6．A　[易知A(－1，0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0．故选A．]
7．ACD　[对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；
对于B，斜率k＝－＝－，故B错误；
对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．故选ACD．]
8．ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．]
9．(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1)．
又B(1，0)，则＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
10．x＝－或y＝(x＋)　[在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°．若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．A　[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|，∴tan ∠CBD＝，
∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan ＝．故选A．]
12．D　[由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得点B(2，3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D．]
13．或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝－；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－．
所以k的取值为或－2或－．]
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