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2025年河北省沧州市中考数学模拟试卷
一、单选题
1．下列各数中，是负整数的是( )
A. B. C. D.
2．2025年1月,国家统计局公布了2024年出生人口数据,全年出生人口由降转增,2024年全年出生人口数约为9540000,相比2023年增加了520000人.其中数字9540000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3．下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4．定义关于任意正整数m,n的一种新运算：.例如,规定,则,.若规定,则( )
A. B. C. D.
5．如图，已知，，，则的度数为( )

A. B. C. D.
6．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝,是中国书法的必备用具.如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7．《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中有这样一道题：“今有醇酒一斗,值钱五十；行酒一斗,值钱一十；今将钱三十,得酒二斗,问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒(优质酒)1斗,价值50钱；行酒(劣质酒)1斗,价值10钱；现有30钱,买得2斗酒,问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗,行酒y斗,可列出关于x,y的二元一次方程组( )
A. B. C. D.
8．设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
9．如图，在扇形中，，点C是的中点.过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D.在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
10．如图，已知正方形边长为4，点E为中点，连接，取中点F，过点F作垂线，交于点G，则的长为( )

A.3 B. C. D.
11．如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点C、D、E在同一条直线上，与相交于点F，则以下判断错误的是( )
A. B.为等边三角形
C. D.
12．抛物线交x轴于点,,交y轴的负半轴于点C.顶点为D.下列结论,①；②；③当m为任意实数时,；④方程的两个根为,；⑤抛物线上有两点和,若,且,则.其中正确的有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
13．若,则______.
14．若一组数据,,…,的平均数为a,则数据,,…,的平均数为______.
15．如图,在边长为2的正六边形中,点P在上,一束光线从点P出发,照射到镜面上的点Q处,经反射后射到上的点G处,且,,则______.
16．如图,点在反比例函数的图像上,点B在反比例函数(,)的图像上,点C在x轴上,且四边形为菱形.将菱形沿y轴向上平移,使点C落在反比例函数的图像上,则平移前后两个菱形重叠部分的面积为______.
三、解答题
17．阅读下面材料,并完成相应的任务.
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算,它有很强的技巧性.观察下列各式：
；
；
；
；
…
我们发现,两位数与相乘,当时,有如下速算规律：先将十位数字a与相乘,得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字b和c相乘,得到的结果作为积的后两位数字.如果结果是一位数,则在其前面补0.
(1)请根据上述规律计算：______；______.
(2)我们可以用所学的知识证明这个结论,这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请证明上述阅读材料中的结论.
18．根据以下素材,完成任务.
素材1 某商店在无促销活动时,若买1件A商品,2件B商品,共需56元；若买2件A商品,1件B商品,共需52元.
素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务,开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务,须用25元购买“神券”,则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务,本店内所有商品一律按标价的八折出售.
问题解决
任务1 (1)该商店无促销活动时,求A,B商品的销售单价分别是多少？
任务2 (2)小明在促销期间购买A,B两款商品共30件,其中A商品购买a件. ①若使用外卖配送商品,共需要______元； ②若不使用外卖配送商品,共需要______元(结果均用含a的代数式表示).
任务3 (3)在(2)的条件下,什么情况下使用外卖配送服务更合算？
19．为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息.
信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用x表示，单位：个）.分成六组：；；；；；.
信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189；
信息三：“立定跳远”成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
人数 2 m 10 9 6 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)被随机抽取的男生人数为_____人，并请补全条形统计图；
(2)下列结论正确的是_____（将所有正确的序号填在横线上）；
①；
②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于；
③立定跳远成绩的中位数记为n，则；
(3)若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数.
20．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座
(1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）；
(2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）
21．已知：在矩形中，点M是边上中点.
(1)如图1，连接并延长交延长线于点E，连接交于点F.
①求证：
②求的值；
(2)如图2，过点A作直线分别与、的延长线交于点E、点P，连接、.求证：.
22．如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点C，D，连接，，，，交于点E，射线交的延长线于点F，延长交于点G，且.
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径及线段的长
23．如图，已知抛物线与y轴相交于点A，将抛物线L绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与y轴相交于点B.
(1)求点A的坐标及抛物线L的顶点坐标；
(2)在抛物线上取一点C，连接，且满足.
当时，求点C的坐标；
定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形.现过点A，B，C作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时m的值.
24．如图,在矩形中,,连接,点A关于的对称点为点E,连接、、、,与交于点F.以点C为圆心,为半径作圆.
(1)如图1,当点E在上时,求证：；
(2)如图2,当点F在上时,求的值；
(3)如图3,、分别交于点G、H,请探究与的数量关系,并证明.
参考答案
1．答案：C
解析：A.是负分数，不符合题意；
B.，是正整数，不符合题意；
C.，是负整数，符合题意；
D.，是正整数，不符合题意；
故选：C.
2．答案：C
解析：.
故选：C.
3．答案：D
解析：A、，原写法错误，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，原写法正确，故符合题意；
故选：D.
4．答案：D
解析：∵
由新运算,可知,
则,
∴.
故选：D.
5．答案：B
解析：∵，
∴，，，
∴，
故选：B.
6．答案：C
解析：∵从砚台上面看到的图形是
故选C.
7．答案：A
解析：∵要买2斗酒,
∴,
∵醇酒(优质酒)5斗,价格50钱；行酒(劣质酒)1斗,价值10钱,
∴,
∴根据题意可列方程组,
故选：A.
8．答案：C
解析：∵，
∴，
∴，故C选项结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论，
故选：C.
9．答案：B
解析：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点P落在阴影部分的概率是
故选：B.
10．答案：C
解析：如图，连接、，

正方形边长为4，
，，
点E为中点，
，
点F为中点，，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
故选：C.
11．答案：D
解析：∵与是两个全等的等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点A作，
则：，
在中，，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；故选项C正确，不符合题意；
作，设，
∵，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D.
12．答案：B
解析：因为抛物线经过点,,
所以抛物线的对称轴为直线,
则,即.故①正确.
将代入函数解析式得,,
又因为,
所以,
即.故②错误.
因为抛物线的对称轴为直线,且开口向上,
所以当时,函数取得最小值,
所以当时总有,,
即.故③错误.
由题知,方程的两个解为,.
方程可转化为,
所以或3,
则,.故④正确.
因为,
所以点P在直线左侧,点Q在直线右侧,
又因为,
则.
因为抛物线的对称轴为直线,且开口向上,
所以.故⑤正确；
综上分析可知,正确的有3个.
故选：B.
13．答案：3
解析：由题意知,,
故答案为：3.
14．答案：
解析：∵数据,,…,的平均数是a,
∴数据,,…,平均数为,
故答案为：.
15．答案：6
解析：延长、于点M,延长交于点N,
正六边形,
,
,
则和是等边三角形,
,,且,
,,
,
,
故、也是等边三角形,
,,
,
,
.
故答案为：6.
16．答案：
解析：延长交y轴于H,将菱形沿y轴向上平移得到菱形,则点D落在反比例函数的图像上,延长交于N,则
∵菱形沿y轴向上平移得到菱形,
∴轴,,,,
∴四边形是矩形,
∴,,
∴,
∵点在反比例函数的图像上,
∴,
解得,
∴反比例函数,
∵,
∴,,
∴,
∴,,
当时,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,解得,
∴,
∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为,
故答案为：.
17．答案：(1)5621,7224
(2)见解析
解析：(1)由上述规律可知,,
,
故答案为：5621,7224；
(2)证明：∵,
.
18．答案：(1)A,B商品的销售单价分别是16元,20元
(2)①；②
(3)购买A款商品数量小于25得正整数时,使用外卖配送服务更合算
解析：(1)设A,B商品的销售单价分别是x元,y元,
由题意可知,,
解得：,
答：A,B商品的销售单价分别是16元,20元；
(2)①若使用外卖配送商品,共需要元；
②若不使用外卖配送商品,共需要元；
故答案为：,；
(3)由题意得：,
解得：,
又∵,且a为整数,
∴购买A款商品数量小于25得正整数时,使用外卖配送服务更合算.
19．答案：(1)40；图见解析
(2)
(3)全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人
解析：(1)（人）
∴被随机抽取的男生人数为40人.
B组的人数为：（人）
补全条形图如下：
故答案为：40；
(2)解析：①，故①正确；
②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），
占抽取人数为；故②错误；
③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21个数据位于第三组，故中位数n满足；故③正确.
综上，结论正确的是①③.
故答案为：①③
(3)解析：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有（人）
∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为（人）
20．答案：(1)
(2)
解析：如图，过点C作，垂足为M，则，
，，
，
，，
，
即点A到地面的距离为；
(2)解析：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，
则四边形是矩形，
∴；
，，
，，，
，，，
点A.到地面的距离为
21．答案：(1)①证明见解析；②；
(2)证明见解析.
解析：(1)①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点M是中点，
∴，
在与中，
，
，
②由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：延长交延长线于点G，
∵
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
22．答案：(1)见解析
(2)的半径为3，.
解析：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴且为的半径，
∴是的切线；
(2)解析：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为3，
∵，
∴，
∴，即，
解得.
23．答案：(1)；
(2)或或
解析：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线L的顶点坐标为；
(2)解析：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线L的对称轴关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点C作轴于点M，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当H为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点C作轴于点N，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知A和B关于点H对称，新的抛物线的对称轴与抛物线L的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交x轴于点T，
∵，
∴，且点B在y轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于2，舍）；
综上所述，或.
24．答案：(1)见解析
(2)
(3),证明见解析
解析：(1)证明：∵四边形是矩形,
∴,
∵点A、E关于对称,
∴,
∵点E在上,
∴,
∴,
∴,
∴,则,
在与中,
∴；
(2)∵四边形是矩形,
∴,
∵点A、E关于对称,
∴,
∴,
,
∴,则,
,,
∴,
连接,
∵点F在上,
∴,则,
,
∴,
∵,
∴,
,
∵,则,
,
则,
∴；
(3),证明如下：
连接,交于点O,
∵四边形是矩形,
∴,,,
∴,
∵点A、E关于对称,
∴,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴是的中位线,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.

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