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第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
课时2 圆周角定理的推论2，推论3
1.直径所对的圆周角是直角
2.90°的圆周角所对的弦是直径. （重点、难点）
学习目标
新课导入
复习
1.什么叫做圆周角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
新课讲解
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
直径所对的圆周角是直角.
新课讲解
练一练
1.如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
＝10× ＝5(cm)．
∴AC的长为5 cm.
解：
新课讲解
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的
弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是(　　)
A．75°　　　
B．60°　　　
C. 45°　　　
D．30°
D
新课讲解
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
练一练
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能 判断哪个是半圆形？为什么
题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
解：
课堂小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想
直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，
遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中
作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行
两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之
间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等
的问题.
当堂小练
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
C
当堂小练
2.如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于(　　)
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 ，点P在圆上，则∠APB＝___________．
60°或120°
1.(北师9下P83改编)如图，AB是☉O的直径，∠B＝30°，则∠A的度数是　 　.
　60°　
课后练习
A B C D
2.(北师9下P83改编、人教9上P89改编)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
B
3.(北师9下P81、人教9上P87)(2024茂名一模改编)如图，A，B，C，D是☉O上的四点，且∠C＝100°，求∠BOD和∠A的度数.
解：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠A＝180°－∠C＝80°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝160°.
4.【例1】如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，交AC于点E，求证：AB＝AC.
证明：连接AD，∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
，∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
小结：“见直径，想直角”是圆中常见的辅助线添加原则.
5.(2024江门一模)如图，四边形ABCD内接于☉O，DA＝DC，E在AB的延长线上且∠CBE＝50°，则∠DAC＝
　 　°.
　65　
6.(人教9上P87)如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D.
(1)求BC，AD，BD的长；
(2)求四边形ADBC的面积.
解：(1)连接OD.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝＝8(cm)，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝AB＝10＝5 (cm).
(1)求BC，AD，BD的长；
(2)S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD
＝AC·BC＋AD·BD＝24＋25＝49(cm2).
(2)求四边形ADBC的面积.
7.(苏教9下P67)如图，△ABC的顶点在☉O上，AD是△ABC的高，AE是☉O的直径，连接BE.求证：△ABE∽△ADC.
证明：∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC.
∵∠AEB＝∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
8.(2024佛山模拟改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，☉D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则点B的坐标是　 　.
　(0，2)　
★9. 0.50 如图，点A，B，C在☉O上，AF是☉O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF.
(1)求证：AE是☉O的直径；
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长.
(1)证明：∵BE＝CF，，∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAF＋∠ACD＝90°，
∵∠E＝∠ACB，∴∠E＋∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝90°，∴AE是☉O的直径.
(2)解：如图，连接OC，∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝AOC，
∴∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE＝8，∴AO＝CO＝4，∴AC＝4
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长.
请完成课本本节对应习题
布置作业
谢谢大家

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