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(共35张PPT)
第八章　解析几何
阶段提能(九)　解析几何
一、单项选择题
1．已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
题号
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3
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6
7
8
9
√
10
11
12
A　[若l1∥l2，则＝≠，解得a＝±2，即l1∥l2的充要条件是a＝±2，所以a＝2是l1∥l2的充分不必要条件．故选A．]
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题号
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2．(2025·陕西西安模拟)已知椭圆＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
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5
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8
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11
12
B　[由题得t－4＞10－t＞0，即7＜t＜10，
由焦距为4，得t－4－(10－t)＝4，解得t＝9，
可得椭圆方程为x2＋＝1，所以b＝1，a＝，c＝2，所以离心率为＝．故选B．]
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题号
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3．已知直线l：y＝x＋2m与双曲线C：＝1(m>0)的一条渐近线平行，则C的右焦点到直线l的距离为(　　)
A．2 B．
C．＋1 D．4
√
1
题号
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C　[双曲线C：＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±x，
因为直线l：y＝x＋2m与双曲线C的一条渐近线平行，
所以＝，解得m＝1，所以双曲线C的右焦点坐标为(2，0)，
所以C的右焦点到直线l的距离为＝＋1．
故选C．]
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题号
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4．已知两圆C1：(x＋5)2＋y2＝9，C2：(x－5)2＋y2＝9，动圆C与圆C1外切，且和圆C2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≥3) B．＝1
C．＝1(x≥3) D．＝1
√
1
题号
2
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12
C　[如图，设动圆C的半径为R，则|CC1|＝3＋R，|CC2|＝R－3，
则|CC1|－|CC2|＝6<10＝|C1C2|，
所以动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点，6为实轴长的双曲线的右支．
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16．
故动圆圆心C的轨迹方程为＝1(x≥3)．故选C．]
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题号
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5．(2025·广东潮汕实验中学模拟)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
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题号
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B　[过点A作x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如图所示．所以|AF|＋|AB|的最小值为3．故选B．]
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题号
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6．已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＝1(0A．2 B．4
C．2 D．4
√
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题号
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B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，
则所以＝－，
即＝，解得b2＝8，
所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，
所以＝×2c×2＝4．故选B．]
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题号
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二、多项选择题
7．(2024·辽宁沈阳三模)设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是(　　)
A．|PF1|的最大值为8
B．椭圆C的离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值等于12
D．以线段F1F2为直径的圆与圆(x－4)2＋(y－3)2＝4相切
√
1
题号
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√
√
ACD　[椭圆C：＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半焦距c＝＝3，
对于A，|PF1|的最大值为a＋c＝8，A正确；
对于B，椭圆C的离心率e＝＝，B错误；
对于C，设P(x0，y0)，则|y0|max＝4，而|F1F2|＝2c＝6，
因此△PF1F2面积的最大值等于×6×4＝12，C正确；
对于D，以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心O(0，0)，半径r1＝3，
圆(x－4)2＋(y－3)2＝4的圆心E(4，3)，半径r2＝2，|OE|＝5＝r1＋r2，则圆O与圆E外切，D正确．故选ACD．]
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题号
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8．(2024·江苏盐城期中)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是(　　)
A．F的坐标为
B．|AB|＝x1＋x2＋
C．若OA⊥OB，则直线AB过定点(1，0)
D．若点P(－2，1)，PA，PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x－2y－2＝0
√
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题号
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√
√
ACD　[因为拋物线C：y2＝x，故F的坐标为，故A正确；
当直线AB过焦点时，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋，但直线AB不一定过焦点，故B错误；
若OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝0，即y1y2＝－1或y1y2＝0(舍去)，
直线AB的方程为y＝(x－x1)＋y1，即y＝ ＋ y1 ＝x ＋ ，得y＝(x－1)，故直线AB过定点(1，0)，故C正确；
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题号
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设过点P(－2，1)的切线方程为x＝m(y－1)－2，联立 y2－my＋m＋2＝0，
所以Δ＝m2－4m－8＝0，故m＝2＋2 或m＝2－2，所以方程的根为y＝，
故切线PA，PB方程中m分别为m1＝2＋2和m2＝2－2，故y1＋y2＝＝2，
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题号
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y1y2＝＝－2，
可得直线AB：y＝＋y1＝x＋＝x－1，即x－2y－2＝0，故D正确．故选ACD．]
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题号
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三、填空题
9．(2024·广东广州二模)已知A，B，F分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为________．
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题号
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　[由已知可得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
线段AF的垂直平分线方程为x＝，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以过A，B，F三点的圆的方程为＋(y－b)2＝，
A(a，0)在圆上，所以＋(0－b)2＝，
整理得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，由01
题号
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10．(2025·湖北重点高中联考)已知抛物线y2＝2x，从抛物线内一点A(2，)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则直线BC与x轴交点的横坐标为________，△ABC的面积为________．
1
题号
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　 　[∵A(2，)，∴B，
由抛物线的光学性质可知，直线BC过焦点F，即直线BC与x轴交点的横坐标为．F，直线BF的斜率为， ∴直线BC的倾斜角为60°，且∠ABC＝120°，
即|BC|＝＝＝，∵|AB|＝，
∴S△ABC＝|AB|·|BC|sin∠ABF＝＝．]
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题号
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四、解答题
11．(2025·重庆模拟)已知椭圆Γ：＋y2＝1，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，M为线段AB的中点．
(1)设直线l的斜率为k，已知M(1，m)(m>0)，求证：k<－；
(2)直线l不与坐标轴重合且经过Γ的左焦点F1，直线OM与椭圆Γ交于C，D两点，且|AM|·|BM|＝|CM|·|DM|，求直线l的方程．
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题号
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解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得＝0，变形得＝－，
即km＝－，故k＝－，又解得01
题号
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(2)由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝ny－1，
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题号
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联立得(n2＋2)y2－2ny－1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，
可得|AB|＝＝＝．
x1＋x2＝n(y1＋y2)－2＝－2＝，
则AB的中点M的坐标为，
故CD的方程为y＝－x．联立
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题号
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得x2＝，
由对称性，不妨设C(x0，y0)，D(－x0，－y0)，则＝，其中x0>0．
可得|CD|＝·|2x0|＝＝2．
由题意|OC|＝|OD|＝|CD|，|AM|＝|BM|＝|AB|，
且|AM|·|BM|＝|CM|·|DM|＝，
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题号
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故＝－|OM|2，
即|AB|2＝|CD|2－4|OM|2，
代入|AB|，|CD|，|OM|，得＝－4，
解得n＝±，故直线l的方程为x＝±y－1．
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题号
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12．(2024·湖南邵阳三模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点Q与C的上、下顶点所围成的三角形面积为2．
(1)求C的方程；
(2)不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为．
①证明：直线l过定点；
②求△QAB面积的最大值．
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题号
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解：(1)令椭圆C：＝1的半焦距为c，由离心率为，得＝，
解得a＝2c，b＝＝c，
由三角形面积为2，得ab＝2，则c＝1，a＝2，b＝，
所以C的方程为＝1．
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题号
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(2)①证明：由(1)知，Q(2，0)，设直线l的方程为x＝my＋n(n≠2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，Δ＝36m2n2－4(3m2＋4)(3n2－12)＞0，即3m2－n2＋4＞0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
直线QA与QB的斜率分别为kQA＝，kQB＝，
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题号
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所以kQA·kQB＝＝
＝＝＝，整理得n2＋2n－8＝0，解得n＝－4或n＝2，
当n＝2时，直线x＝my＋2过点Q，不符合题意，因此n＝－4，
所以直线l：x＝my－4恒过定点P(－4，0)．
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题号
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②由①知，y1＋y2＝，y1y2＝，
则|y1－y2|＝＝＝，
因此S△QAB＝|PQ||y1－y2|＝＝
≤＝，当且仅当3＝，
即m＝±时取等号，
所以△QAB面积的最大值为．
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题号
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谢 谢！阶段提能(九)　解析几何
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分
一、单项选择题
1．已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·陕西西安模拟)已知椭圆＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知直线l：y＝x＋2m与双曲线C：＝1(m>0)的一条渐近线平行，则C的右焦点到直线l的距离为(　　)
A．2 B．
C．＋1 D．4
4．已知两圆C1：(x＋5)2＋y2＝9，C2：(x－5)2＋y2＝9，动圆C与圆C1外切，且和圆C2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≥3) B．＝1
C．＝1(x≥3) D．＝1
5．(2025·广东潮汕实验中学模拟)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＝1(0A．2 B．4
C．2 D．4
二、多项选择题
7．(2024·辽宁沈阳三模)设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是(　　)
A．|PF1|的最大值为8
B．椭圆C的离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值等于12
D．以线段F1F2为直径的圆与圆(x－4)2＋(y－3)2＝4相切
8．(2024·江苏盐城期中)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是(　　)
A．F的坐标为
B．|AB|＝x1＋x2＋
C．若OA⊥OB，则直线AB过定点(1，0)
D．若点P(－2，1)，PA，PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x－2y－2＝0
三、填空题
9．(2024·广东广州二模)已知A，B，F分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为________．
10．(2025·湖北重点高中联考)已知抛物线y2＝2x，从抛物线内一点A(2，)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则直线BC与x轴交点的横坐标为________，△ABC的面积为________．
四、解答题
11．(2025·重庆模拟)已知椭圆Γ：＋y2＝1，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，M为线段AB的中点．
(1)设直线l的斜率为k，已知M(1，m)(m>0)，求证：k<－；
(2)直线l不与坐标轴重合且经过Γ的左焦点F1，直线OM与椭圆Γ交于C，D两点，且|AM|·|BM|＝|CM|·|DM|，求直线l的方程．
12．(2024·湖南邵阳三模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点Q与C的上、下顶点所围成的三角形面积为2．
(1)求C的方程；
(2)不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为．
①证明：直线l过定点；
②求△QAB面积的最大值．
阶段提能(九)
1．A　[若l1∥l2，则＝≠，解得a＝±2，即l1∥l2的充要条件是a＝±2，所以a＝2是l1∥l2的充分不必要条件．故选A．]
2．B　[由题得t－4＞10－t＞0，即7＜t＜10，
由焦距为4，得t－4－(10－t)＝4，解得t＝9，
可得椭圆方程为x2＋＝1，所以b＝1，a＝，c＝2，所以离心率为＝．故选B．]
3．C　[双曲线C：＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±x，
因为直线l：y＝x＋2m与双曲线C的一条渐近线平行，
所以＝，解得m＝1，所以双曲线C的右焦点坐标为(2，0)，
所以C的右焦点到直线l的距离为＝＋1．
故选C．]
4．C　[如图，设动圆C的半径为R，则|CC1|＝3＋R，|CC2|＝R－3，
则|CC1|－|CC2|＝6<10＝|C1C2|，
所以动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点，6为实轴长的双曲线的右支．
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16．
故动圆圆心C的轨迹方程为＝1(x≥3)．故选C．]
5．B　[过点A作x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如图所示．所以|AF|＋|AB|的最小值为3．故选B．
]
6．B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，
则所以＝－，
即＝，解得b2＝8，
所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，
所以＝×2c×2＝4．故选B．]
7．ACD　[椭圆C：＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半焦距c＝＝3，
对于A，|PF1|的最大值为a＋c＝8，A正确；
对于B，椭圆C的离心率e＝＝，B错误；
对于C，设P(x0，y0)，则|y0|max＝4，而|F1F2|＝2c＝6，
因此△PF1F2面积的最大值等于×6×4＝12，C正确；
对于D，以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心O(0，0)，半径r1＝3，
圆(x－4)2＋(y－3)2＝4的圆心E(4，3)，半径r2＝2，|OE|＝5＝r1＋r2，则圆O与圆E外切，D正确．故选ACD．]
8．ACD　[因为拋物线C：y2＝x，故F的坐标为，故A正确；
当直线AB过焦点时，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋，但直线AB不一定过焦点，故B错误；
若OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝0，即y1y2＝－1或y1y2＝0(舍去)，
直线AB的方程为y＝(x－x1)＋y1，即y＝ ＋ y1 ＝x ＋ ，得y＝(x－1)，故直线AB过定点(1，0)，故C正确；
设过点P(－2，1)的切线方程为x＝m(y－1)－2，联立 y2－my＋m＋2＝0，
所以Δ＝m2－4m－8＝0，故m＝2＋2 或m＝2－2，所以方程的根为y＝，
故切线PA，PB方程中m分别为m1＝2＋2和m2＝2－2，故y1＋y2＝＝2，
y1y2＝＝－2，
可得直线AB：y＝＋y1＝x＋＝x－1，即x－2y－2＝0，故D正确．故选ACD．]
9．　[由已知可得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
线段AF的垂直平分线方程为x＝，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以过A，B，F三点的圆的方程为＋(y－b)2＝，
A(a，0)在圆上，所以＋(0－b)2＝，
整理得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，由010．　 　[∵A(2，)，∴B，
由抛物线的光学性质可知，直线BC过焦点F，即直线BC与x轴交点的横坐标为．F，直线BF的斜率为， ∴直线BC的倾斜角为60°，且∠ABC＝120°，
即|BC|＝＝＝，∵|AB|＝，
∴S△ABC＝|AB|·|BC|sin∠ABF＝＝．
]
11．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得＝0，变形得＝－，
即km＝－，故k＝－，又解得0(2)由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝ny－1，
联立得(n2＋2)y2－2ny－1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，
可得|AB|＝＝＝．
x1＋x2＝n(y1＋y2)－2＝－2＝，
则AB的中点M的坐标为，
故CD的方程为y＝－x．联立
得x2＝，
由对称性，不妨设C(x0，y0)，D(－x0，－y0)，则＝，其中x0>0．
可得|CD|＝·|2x0|＝＝2．
由题意|OC|＝|OD|＝|CD|，|AM|＝|BM|＝|AB|，
且|AM|·|BM|＝|CM|·|DM|＝，
故＝－|OM|2，
即|AB|2＝|CD|2－4|OM|2，
代入|AB|，|CD|，|OM|，得＝－4，
解得n＝±，故直线l的方程为x＝±y－1．
12．解：(1)令椭圆C：＝1的半焦距为c，由离心率为，得＝，
解得a＝2c，b＝＝c，
由三角形面积为2，得ab＝2，则c＝1，a＝2，b＝，
所以C的方程为＝1．
(2)①证明：由(1)知，Q(2，0)，设直线l的方程为x＝my＋n(n≠2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，Δ＝36m2n2－4(3m2＋4)(3n2－12)＞0，即3m2－n2＋4＞0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
直线QA与QB的斜率分别为kQA＝，kQB＝，
所以kQA·kQB＝＝
＝
＝＝，整理得n2＋2n－8＝0，解得n＝－4或n＝2，
当n＝2时，直线x＝my＋2过点Q，不符合题意，因此n＝－4，
所以直线l：x＝my－4恒过定点P(－4，0)．
②由①知，y1＋y2＝，y1y2＝，
则|y1－y2|＝
＝＝，
因此S△QAB＝|PQ||y1－y2|
＝＝
≤＝，当且仅当3＝，
即m＝±时取等号，
所以△QAB面积的最大值为．
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