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第一部分 专项突破
基础·中档专项
专项四 圆的切线的判定与相关计算
圆的切线的判定与相关计算，通常以三角形、四边形与圆为背景，以全等、相
似、锐角三角函数为载体，借助相关问题的设置，探究直线与圆的位置关系及相关
计算.在求解过程中渗透几何直观、推理能力和运算能力等核心素养的考查.
类型1 连半径，证垂直
【解题策略】当直线与圆有公共点时，连接公共点与圆心，证明半径与直线垂直.
例1 [2024·上饶模拟] 如图，是的直径，是 的切
线，为切点，连接，交于点，连接，过点 作
交于点，连接和，交于点 .
（1） 求证：是 的切线.
. .
. .
（2） 若，且，求切线 的长.
【自主解答】
（1） 求证：是 的切线.
证明：如图，连接 ，
.
.
，
.
， ，
.
.
是 的切线.
（2） 若，且，求切线 的长.
【自主解答】
解：是 的直径，
.
，
.
，
设，则，
.
在中，由勾股定理得 ，即
，
解得或（舍去）， .
是的切线， .
.
.
.
类型2 作垂线，证半径
【解题策略】当直线与圆的公共点未给出时，一般过圆心向直线作垂线，证明
垂线段的长等于圆的半径长.当题目中已知某直线是圆的切线时，圆心与切点的连
线是常作的辅助线.
例2 如图，在菱形中，是对角线 上一点
，，垂足为，以为半径的 分别交
于点，交的延长线于点，与交于点 .
（1） 求证：是 的切线.
. .
. .
（2） 若是的中点，， .
① 求 的长.
② 求 的长.
【自主解答】
（1） 求证：是 的切线.
证明：如图，过点作于点 .
是菱形 的对角线，
.
， ，
.
是 的切线.
（2） 若是的中点，， .
① 求 的长.
解：是的中点， ，
.
，， .
.
. .
.
， .
由弧长公式得的长为 .
② 求 的长.
【自主解答】
解：如图，过点作于点 .
易知 ，
.
，， ，
. .
.
，， .
， ，
.
.
. .
类型1 连半径，证垂直
1.[2024·景德镇二模] 如图，为的直径，点是弧的中点，过点 作射线
的垂线，垂足为 ．
（1） 求证：是 的切线.
（2） 若，，求 的长．
. .
. .
（1） 求证：是 的切线.
证明：如图，连接 .
点是弧的中点， .
.
， .
．
， 半径 ．
是 的切线.
（2） 若，，求 的长．
解：如图，连接 .
是的直径， ,
.
由（1）知， .
.. ．
2.如图1，，是的两条弦， ，过点的直线与半径 平行.
（1） 求证：直线与 相切.
（2） 已知的半径，若 ，如图2，求图中阴影部分的面积.
（1） 求证：直线与 相切.
证明：如图1，连接 .
，
.
， .
直线与 相切.
（2） 已知的半径，若 ，如图2，求图中阴影部分的面积.
解：如图2，连接，，过点作 ，
垂足为 .
在与 中，
.
.
，
.
.
.
在中， ，
.
.
类型2 作垂直，证半径
3.如图，在中，为上一点，以点为圆心，长为半径作圆，与 相
切于点，过点作交的延长线于点，且 .
（1） 求证：为 的切线.
（2） 若，，求 的长.
. .
. .
（1） 求证：为 的切线.
证明：如图，过点作于点 .
于点 ，
.
， .
， .
又为的切线， .
.
，
.
.
，是 的切线.
（2） 若，，求 的长.
解： ， ，
.
, ，
.
由（1）易知， .
, .
， .
， ，
.
，即 .
.
4.如图，是的直径，，分别切于点，，交， 于点
，，平分 .
（1） 求证：是 的切线.
（2） 若，，求的半径 ．
（1） 求证：是 的切线.
证明：如图，过点作于点 .
切于点， .
又平分， .
为 的半径，
是 的半径.
又 ，
是 的切线．
（2） 若，，求的半径 ．
解：如图，过点作于点 .
，分别切于点， ，
， 四边形 是矩形.
， .
又，， .
，，分别切于点，， ，
， .
.
在中， ，
.
.
的半径是 ．
5.如图，在中， ，是边的中点，点在边上， 经过
点且与边相切于点， .
（1） 求证：是 的切线.
（2） 若，，求的半径及 的长.
（1） 求证：是 的切线.
证明：如图，作，垂足为，连接 .
，点是 边的中点，
.
.
，
， ，
即是 的平分线.
点在上，与相切于点 ，
，且是 的半径.
，是 的半径.
是 的切线.
（2） 若，，求的半径及 的长.
解：在中， ，， .
设， ，
.
，即， .
设的半径为，则 .
易知 ，
，即 .
，即的半径为 .
又， .
在中，由勾股定理得 .

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